题目 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$，$D$ 为其左顶点．若存在直线 $l$ 过点 $M(t,0)$（其中 $-2<t<2$）交椭圆于 $A,B$ 两点，使 $S_{\triangle AOB}=\lambda S_{\triangle AOD}$，则称 $M$ 为 $\lambda$ 分点． 问题1 求证：$M(1,0)$ 是 $1$ 分点； 答案1 略 解析1 当点 $M(1,0)$ 时，由于$$\dfrac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle AOM}}=\dfrac{OD}{OM}=2,$$于是$$S_{\triangle AOB}=\lambda S_{\triangle AOD}$$等价于$$\dfrac{BM}{AM}=2\lambda -1,$$因此只需要求出 $\dfrac{BM}{AM}$ 的取值范围就可以解决问题．<br/>设直线 $AB:x=my+1$，与椭圆方程联立可得$$\left(m^2+4\right)y^2+2my-3=0,$$记 $\dfrac{BM}{AM}=\mu$，$B(x_1,y_1),A(x_2,y_2)$，其中 $\mu>0$，则 $\dfrac{y_1}{y_2}=-\mu$，于是$$-\mu+\dfrac{1}{-\mu}+2=\dfrac{4m^2}{-3\left(m^2+4\right)},$$从而可得 $\mu+\dfrac{1}{\mu}$ 的取值范围是 $\left[2,\dfrac{10}{3}\right)$，也即 $\mu$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 13,3\right)$，对应的 $\lambda$ 的取值范围为 $\left(\dfrac 23,2\right)$，因此 $M(1,0)$ 是 $1$ 分点． 备注1 问题2 求证：$M(1,0)$ 不是 $2$ 分点． 答案2 略 解析2 根据第 $(1)$ 小题的结果，$\lambda$ 的取值范围为 $\left(\dfrac 23,2\right)$，因此 $M(1,0)$ 不是 $2$ 分点． 备注2 每日一题[116]两根之比．