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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
24126 59ba35d398483e0009c7312a 高中 解答题 高中习题 已知 $n$ 是合数，求证：$2^n-1$ 也是合数． 2022-04-17 20:51:33
24121 59ba35d398483e0009c7314c 高中 解答题 高中习题 一列正整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ 满足每个数都能整除之后的数，即 $a_n\mid a_{n+1}$，则它们模 $30$ 的余数最多可能有多少种不同的取值？ 2022-04-17 20:48:33
24003 59ba389798483e0009c732b6 高中 解答题 高中习题 设 $a,d$ 是正整数，求证：等差数列 $\{a+nd\}$（$n\in\mathbb N$）中有无穷多项，它们有相同的质因数． 2022-04-17 20:43:32
23981 59b73808b049650008cb671a 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=a_{n+1}a_{n+2}-a_n^2$，$n=1,2,\cdots$． 2022-04-17 20:31:32
23873 590825dd060a050008e62205 高中 解答题 高中习题 有编号为 $1,2,3,\cdots ,100$ 的 $100$ 盏灯和编号为 $1,2,3,\cdots ,100$ 的 $100$ 个操作员．$100$ 盏灯初始时都是关闭的，$100$ 个操作员顺次操作，其中编号为 $k$ 的操作员把所有编号为 $k$ 的倍数的灯改变状态，如编号为 $3$ 的操作员把编号为 $3,6,9,\cdots ,99$ 的灯中关闭的灯打开，打开的灯关闭．那么最后亮着的灯有多少盏？ 2022-04-17 20:34:31
23860 59084e47060a05000980b0b8 高中 解答题 高中习题 已知等差数列 $\{a_n\}$ 中包含 $1$ 和 $\sqrt 2$，求证：数列 $\{a_n\}$ 中的任意不同三项不能构成等比数列． 2022-04-17 20:27:31
23695 59ba35d398483e0009c73116 高中 解答题 高中习题 设 $a,d$ 是正整数，求证：等差数列 $\{a+nd\}$（$n\in\mathbb N$）中有无穷多项，它们有相同的质因数． 2022-04-17 20:59:29
23061 590c243c857b420007d3e4c6 高中 解答题 高中习题 非负有理数列 $A_1,A_2,A_3,\cdots$ 满足 $\forall m,n\in\mathbb N^*,A_m+A_n=A_{mn}$，证明：该数列中必然存在相同的数． 2022-04-17 20:04:24
23057 590c29de857b4200092b0685 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 的项数为 $n$，$a_1=a$，$a_n=1$ 且满足$$a_{i+1}=\begin{cases} \dfrac{a_i}2,& 2\mid a_i,\\a_i-1,&2\nmid a_i,\end{cases}$$其中 $i=1,2,\cdots ,n-1$．设 $M(a)$ 表示 $a_1$ 的取值集合，${\rm {card}}\left(M(a)\right)$ 表示 $M(a)$ 的元素个数． 2022-04-17 20:02:24
22871 595c89bf6e0c65000a2cfa58 高中 解答题 高中习题 已知含有 $n$ 个元素的正整数集 $A=\left\{a_1,a_2,\cdots,a_n\right\}$（$a_1<a_2<\cdots<a_n$，$n\geqslant 3$）具有性质 $P$：对任意不大于 $S(A)$（其中 $S(A)=a_1+a_2+\cdots+a_n$）的正整数 $k$，存在数集 $A$ 的一个子集，使得该子集所有元素之和等于 $k$． 2022-04-17 20:26:22
22770 59b89a23c527ed00086d43d7 高中 解答题 高中习题 求使得 $\sqrt{k^2-2004k}$ 是正整数的正整数 $k$ 的个数． 2022-04-17 20:24:21
22511 5a003c8c03bdb1000a37cff0 高中 解答题 高中习题 在数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_1=\dfrac 25$，$a_{n+1}=\dfrac{2a_n-4}{9a_n-10}$，$n\in\mathbb N^{\ast}$． 2022-04-17 20:52:18
22498 592785dd74a309000798cdc1 高中 解答题 高考真题 对于 $n \in {\mathbb N^{\ast}}\left(n \geqslant 2\right)$，定义一个如下数阵：\[{A_{nn}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}}
\end{array}} \right)\]其中对任意的 $1 \leqslant i \leqslant n$，$1 \leqslant j \leqslant n$，当 $i$ 能整除 $j$ 时，${a_{ij}} = 1$；当 $i$ 不能整除 $j$ 时，${a_{ij}} = 0$．设 $\displaystyle t\left(j\right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ij}}} = {a_{1j}} + {a_{2j}} + \cdots + {a_{nj}}$．		 2022-04-17 20:46:18
22489 59278cac74a309000ad0ce7e 高中 解答题 高考真题 对于正整数 $a$，$b$，存在唯一一对整数 $q$ 和 $r$，使得 $a = bq + r$，其中 $0 \leqslant r < b$．特别地，当 $r = 0$ 时，称 $b$ 能整除 $a$，记作 $b\mid a$．已知 $A = \left\{ {1,2,3, \cdots ,23} \right\}$． 2022-04-17 20:41:18
22472 59bbd5208b403a0008ec5edb 高中 解答题 高中习题 如果存在 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，它们的和与乘积相等（$n=1$ 时它们的和与积就是自身），即\[a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1\cdot a_2\cdots a_n,\]则称 $n$ 具有性质 $P$． 2022-04-17 20:32:18
22365 59a76bb2c3021700077da338 高中 解答题 自招竞赛 已知无穷数列 $1,\dfrac 12,\dfrac 13,\dfrac 14,\cdots$，是否存在 $2017$ 项使这 $2017$ 项构成等差数列． 2022-04-17 20:33:17
22364 59af884b984a1c000a04bf70 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\omega$ 是整系数方程 $x^2+ax+b=0$ 的一个无理根，求证：存在常数 $C>0$，使得对任意互质的正整数 $p,q$，均有 $\left|\omega-\dfrac pq\right|\geqslant \dfrac{C}{q^2}$． 2022-04-17 20:33:17
22355 59707176dbbeff000aeab893 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a , b , c$ 都是有理数，$\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c $ 也是有理数，证明：$\sqrt a , \sqrt b , \sqrt c $ 都是有理数． 2022-04-17 20:29:17
22327 59bbd59b8b403a0008ec5f7a 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b$ 是正整数，且 $\sqrt{\dfrac 7a}+\sqrt{\dfrac{10}b}$ 也是正整数，求所有符合题意的 $(a,b)$． 2022-04-17 20:14:17
22276 5a0e7de8aaa1af00079ca9fe 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，表中各行、各列的数都成无穷等差数列，用 $a_{ij}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的数．请解答一下问题：$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline 2&4&6&8&10&\cdots\\ \hline 4&7&10&13&16&\cdots \\ \hline 6&10&14&18&22 &\cdots\\ \hline 8&13&18&23&28& \cdots\\ \hline 10&16&22&28&34& \cdots\\ \hline \cdots&\cdots&\cdots&\cdots& \cdots&\cdots\\ \hline \end{array}$$ 2022-04-17 20:46:16
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