有编号为 $1,2,3,\cdots ,100$ 的 $100$ 盏灯和编号为 $1,2,3,\cdots ,100$ 的 $100$ 个操作员．$100$ 盏灯初始时都是关闭的，$100$ 个操作员顺次操作，其中编号为 $k$ 的操作员把所有编号为 $k$ 的倍数的灯改变状态，如编号为 $3$ 的操作员把编号为 $3,6,9,\cdots ,99$ 的灯中关闭的灯打开，打开的灯关闭．那么最后亮着的灯有多少盏？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$10$
【解析】
显然编号为 $k$ 的灯会被编号为 $k$ 的约数的操作员操作，因此 $k$ 有奇数个约数时，编号为 $k$ 的灯最后是亮着的．而考虑到将一个数 $x$ 的约数按乘积为 $x$ 的方式配对，可得 $x$ 共有奇数个约数当且仅当 $x$ 为完全平方数．综上所述，最后亮着的灯有 $10$ 盏，其编号分别为 $1,4,9,16,25,36,49,64,81,100$．
答案
解析
备注
