题目 如图所示，表中各行、各列的数都成无穷等差数列，用 $a_{ij}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的数．请解答一下问题：$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline 2&4&6&8&10&\cdots\\ \hline 4&7&10&13&16&\cdots \\ \hline 6&10&14&18&22 &\cdots\\ \hline 8&13&18&23&28& \cdots\\ \hline 10&16&22&28&34& \cdots\\ \hline \cdots&\cdots&\cdots&\cdots& \cdots&\cdots\\ \hline \end{array}$$ 问题1 请用 $i$，$j$ 表示 $a_{ij}$； 答案1 $a_{ij}=ij+i+j-1$ 解析1 观察到第 $1$ 列的数列的公差为 $2$，第 $i$ 行的数列公差为 $i+1$，故$$\begin{split}a_{ij}&=a_{11}+2(i-1)+(i+1)(j-1)\\&=ij+i+j-1.\end{split}$$ 备注1 问题2 此表中有几处出现 $2008$？ 答案2 $14$ 解析2 由第 $(1)$ 小题的结论，有\[a_{ij}=ij+i+j-1=(i+1)(j+1)-2,\]于是$$(i+1)(j+1)-2=2008,$$也即\[(i+1)(j+1)=2010,\]由于\[2010=2\cdot 3\cdot 5\cdot 67,\]于是 $2010$ 共有 $16$ 个约数，去掉 $1,2010$，每个约数都对应一组 $(i,j)$，因此此表共有 $14$ 处 $2008$． 备注2