已知 $a,b$ 是正整数，且 $\sqrt{\dfrac 7a}+\sqrt{\dfrac{10}b}$ 也是正整数，求所有符合题意的 $(a,b)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(7,10),(28,40)$
【解析】
设 $\sqrt{\dfrac 7a}+\sqrt{\dfrac{10}b}=m$（$m\in\mathbb N^{\ast}$），则\[\dfrac 7a=m^2+\dfrac{10}{b}-2m\cdot\sqrt{\dfrac{10}b},\]于是 $\sqrt{\dfrac{10}b}$ 是有理数．设\[\sqrt{\dfrac{10}b}=\dfrac pq,\]其中 $p,q\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $(p,q)=1$，则\[b=\dfrac{10q^2}{p^2}\in\mathbb N^{\ast},\]于是 $p=1$．类似的，可得\[\sqrt{\dfrac 7a}=\dfrac 1{q_1},\sqrt{\dfrac{10}b}=\dfrac 1{q_2},\]其中 $q_1,q_2\in\mathbb N^{\ast}$．
根据题意，有 $\left(q_1,q_2\right)=(1,1),(2,2)$，因此所有符合题意的 $(a,b)=(7,10),(28,40)$．
根据题意，有 $\left(q_1,q_2\right)=(1,1),(2,2)$，因此所有符合题意的 $(a,b)=(7,10),(28,40)$．
答案
解析
备注
