设数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=a_{n+1}a_{n+2}-a_n^2$，$n=1,2,\cdots$．
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛B卷（一试）
【标注】
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证明：数列 $\{b_n\}$ 也是等差数列；标注答案略解析不妨设 $a_n=a+nd$，$n\in\mathbb N^*$，则\[\begin{split}b_n&=\left[a+(n+1)d\right]\cdot \left[a+(n+2)d\right]-\left(a+nd\right)^2\\
&=\left[dn+(a+d)\right]\cdot \left[dn+(a+2d)\right]-\left(dn+a\right)^2\\
&=\left[d^2n^2+\left(2ad+3d^2\right)n+\left(a^2+3ad+2d^2\right)\right]-\left(d^2n^2+2adn+a^2\right)\\
&=3d^2n+\left(3ad+2d^2\right)
,\end{split}\]因此数列 $\{b_n\}$ 也是等差数列． -
设数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的公差均是 $d\ne 0$，并且存在正整数 $s,t$，使得 $a_s+b_t$ 是整数，求 $|a_1|$ 的最小值．标注答案$\dfrac{1}{18}$解析根据题意，有 $3d^2=d$，因此 $d=\dfrac 13$，于是\[b_n=\dfrac 13n+a+\dfrac 29=a_n+\dfrac 29,\]进而\[\begin{split}a_s+b_t&=a_s+a_t+\dfrac 29\\
&=2a_1+\dfrac {s+t-2}3+\dfrac 29,\end{split}\]于是\[18a_1=3\left[3\left(a_s+b_t\right)-s-t+1\right]+1,\]因此\[\left|18a_1\right|\geqslant 1,\]又当 $\left(a_1,s,t\right)=\left(\dfrac{1}{18},1,3\right)$ 时，$a_s+b_t=1$ 符合题意，因此所求 $\left|a_1\right|$ 的最小值为 $\dfrac{1}{18}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
