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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26600 5914264e1edfe2000ade98bf 高中 解答题 高中习题 对于任意一个大于 $7$ 的素数 $p$，求证：$p$ 的倍数中存在“所有数位上的数都是 $1$”的数．（例如：$13\times 8547=111111,17\times 65359477124183=1111111111111111.$） 2022-04-17 20:32:56
24566 5913fd5fe020e700094b0dd3 高中 解答题 高中习题 定理：设 $a,b$ 是两个互素的正整数，则所有不能表示成 $ax+by$（$x,y\in \mathbb{N}$）形式的整数构成的集合是\[
\left\{t\left| t=au-bv, u\in \mathbb{N}, v\in \mathbb{N}^{*}, u\leqslant b-1\right.\right\}.
\]		 2022-04-17 20:55:37
24565 591406b2e020e700094b0ddc 高中 解答题 高中习题 设 $n$ 是正整数，$x$ 是实数，则 $\left[\dfrac{[x]}{n}\right]=\left[\dfrac{x}{n}\right]$． 2022-04-17 20:55:37
24562 591417e40cbfff000adcab8f 高中 解答题 高中习题 一筐鸡蛋满足如下条件：
① $1$ 个 $1$ 个拿，正好拿完；
② $2$ 个 $2$ 个拿，还剩 $1$ 个；
③ $3$ 个 $3$ 个拿，正好拿完；
④ $4$ 个 $4$ 个拿，还剩 $1$ 个；
⑤ $5$ 个 $5$ 个拿，还差 $1$ 个；
⑥ $6$ 个 $6$ 个拿，还剩 $3$ 个；
⑦ $7$ 个 $7$ 个拿，正好拿完；
⑧ $8$ 个 $8$ 个拿，还剩 $1$ 个；
⑨ $9$ 个 $9$ 个拿，正好拿完，
问筐里最少有多少个鸡蛋？		 2022-04-17 20:53:37
24121 59ba35d398483e0009c7314c 高中 解答题 高中习题 一列正整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ 满足每个数都能整除之后的数，即 $a_n\mid a_{n+1}$，则它们模 $30$ 的余数最多可能有多少种不同的取值？ 2022-04-17 20:48:33
21024 5c6cbdf6210b281dbaa93501 高中 解答题 自招竞赛 在给定圆的圆周上有2000个点，任取一点标上数1，按顺时针方向在标有1的点后数两个点，在第二个点上标上数2，从标有2的点后数3个点，在第三个点上标上数3（如图）．继续这个过程，分别标出1，2，…，1993，在圆周上的这些点中，有些点可能被标上多个数，有些点可能没有被标数，问标有数1993的那个点上被标出的最小数是多少？ 2022-04-17 20:10:05
20595 5c8f568d210b286d074541e3 高中 解答题 自招竞赛 对于正整数 $p$，我们称正整数 $n$ 为 $p-safe$ 的当 $n$ 和所有 $p$ 的倍数的差的绝对值大于 $2$ 。例如，$10-safe$ 的正整数集合为 $\left\{ 3\text{,}4\text{,}5\text{,}6\text{,}7\text{,13,14,15,16,17,23,}\cdots \right\}$ 。求不超过 $10000$ 同时满足 $7-safe\text{,}11-safe\text{,}13-safe$ 的正整数的个数。 2022-04-17 20:16:01
20432 5c99ef53210b280b2397e961 高中 解答题 自招竞赛 求小于 $2017$ 的正整数 $n$ 的个数使得 $1+n+\frac{{{n}^{2}}}{2\text{!}}+\frac{{{n}^{3}}}{3\text{!}}+\frac{{{n}^{4}}}{4\text{!}}+\frac{{{n}^{5}}}{5\text{!}}+\frac{{{n}^{6}}}{6\text{!}}$ 是整数 2022-04-17 19:45:59
15724 59098f1a38b6b400091effd2 高中 解答题 高中习题 求证：存在无穷多个奇数 $m$，使得 $8^m+9m^2$ 为合数． 2022-04-17 19:22:16
15591 59140798e020e700094b0ddf 高中 解答题 高中习题 已知 $n$ 为正整数，求证：$\dfrac{1}{n+1}\mathrm{C}_{2n}^{n}$ 是正整数． 2022-04-17 19:05:15
15320 59b73332b049650007283196 高中 解答题 自招竞赛 设 $m,n$ 均是大于 $1$ 的整数，$m\geqslant n$．$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是 $n$ 个不超过 $m$ 的互不相同的正整数，且 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 互素．证明：对任意实数 $x$，均存在一个 $i(1\leqslant i\leqslant n)$，使得 $||a_ix||\geqslant\dfrac{2}{m(m+1)}||x||$，这里 $||y||$ 表示实数 $y$ 到与它最近的整数的距离． 2022-04-17 19:36:12
15194 5c9996d9210b280b2256bfbb 高中 解答题 自招竞赛 $a\text{}1\text{,}x\text{}1$，满足 ${{\log }_{a}}\left( {{\log }_{a}}\left( {{\log }_{a}}2 \right)+{{\log }_{a}}24-128 \right)\text{=128}$ 且 ${{\log }_{a}}\left( {{\log }_{a}}x \right)\text{=}256$ 。求 $x$ 模 $1000$ 的值 2022-04-17 19:29:11
789 59093782060a05000b3d1eff 高中 选择题 自招竞赛 设复数 $z$ 的实部和虚部都是整数，则 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:29:00
706 591268c2e020e70007fbebd4 高中 选择题 自招竞赛 设 $k,m,n$ 是整数，不定方程 $mx + ny = k$ 有整数解的必要条件是 \((\qquad)\) 2022-04-15 19:44:59
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