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设 $k,m,n$ 是整数，不定方程 $mx + ny = k$ 有整数解的必要条件是 \((\qquad)\)
A: $m,n$ 都整除 $k$
B: $m,n$ 的最大公因子整除 $k$
C: $m,n,k$ 两两互素
D: $m,n,k$ 除 $1$ 外没有其它公因子
【难度】
【出处】
2010年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    简单数论
    >
    简单数论
  • 知识点
    >
    数论初步
    >
    数论中的常用知识
    >
    裴蜀定理
  • 题型
    >
    数论初步
    >
    解不定方程
【答案】
B
【解析】
设 $m=m_1\cdot d$，$n=n_1\cdot d$，其中 $(m_1,n_1)=1$，则由裴蜀定理，存在整数 $u,v$，使得$$m_1\cdot u+n_1\cdot v=1,$$从而$$ k\cdot m_1\cdot u+k\cdot n_1\cdot v=k=m_1\cdot d\cdot x+n_1\cdot d\cdot y,$$整理得$$k\cdot u=d\cdot x,k\cdot v=d\cdot y$$易知 $d\mid k$．
题目 答案 解析 备注
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