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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15135 5cbeb6ae210b280220ed23d3 高中 解答题 自招竞赛 证明对所有的正整数 $n\geqslant 4$，存在一个集合 $S$，满足如下条件：
（1）$S$ 由都小于 $2^{n-1}$ 的 $n$ 个正整数组成；
（2）对 $S$ 的任意两个不同的非空子集 $A,B$，集合 $A$ 中所有元素之和不等于集合 $B$ 中所有元素之和．		 2022-04-17 19:55:10
15133 5cbfcba3210b280220ed2426 高中 解答题 自招竞赛 设 $M$ 是由有限个正整数构成的集合，且 $M=A_1\bigcup A_2\bigcup\cdots\bigcup A_{20}=B_1\bigcup B_2\bigcup \cdots\bigcup B_{20}$，这里 $A_i\ne\varnothing,B_i\ne\varnothing,i=1,2,\cdots,20$．并对任意的 $1\leqslant i<j\leqslant 20$，都有 $A_i\bigcap A_j=\varnothing,B_i\bigcap B_j=\varnothing$．已知对任意的 $1\leqslant i\leqslant 20,1\leqslant j\leqslant 20$，若 $A_i\bigcap B_j=\varnothing$，则 $|A_i\bigcup B_j=\leqslant 18|$．求集合 $M$ 的元素个数的最小值．（这里，$|X|$ 表示集合 $X$ 的元素个数） 2022-04-17 19:53:10
15128 5cc2c073210b280220ed261e 高中 解答题 自招竞赛 在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1,a_2$ 是给定的非零整数，$a_{n+2}=|a_{n+1}-a_{n}|$． 2022-04-17 19:50:10
15126 5cc66911210b28021fc75c5a 高中 解答题 自招竞赛 对任意正整数 $m,n$，定义函数 $f(m,n)$ 如下：
① $f(1,1)=1$；
② $f(m+1,n)=f(m,n)+2(m+n)$；
③ $f(m,n+1)=f(m,n)+2(m+n-1)$．		 2022-04-17 19:48:10
15125 5cc66984210b280220ed2672 高中 解答题 自招竞赛 已知正数 $a,b$ 满足 $a+b=1$，求 $M=\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{(\dfrac{5}{12})^2+b^2}$ 的最小值． 2022-04-17 19:48:10
15119 5cd5199c210b28021fc760a0 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)=e^x-1-1x$． 2022-04-17 19:45:10
15040 5f0005ca210b28774f712ebe 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\tan A,\tan B$ 是 $x$ 的方程 $x^2+p(x+1)+1=0$ 的两个实根，求 $\angle C.$ 2022-04-17 19:02:10
15014 6007a85e887486000a487923 高中 解答题 自招竞赛 对怎样的实数 $a$，存在函数 $f(x)$ 满足如下条件：
（a）$f(0)=f(\frac{\pi}{4})=1$；
（b）当 $0\leqslant x\leqslant \frac{\pi}{4}$ 时，$|f(x)|\leqslant 2$；
（c）对于任意 $x_1,x_2\in\mathbb{R}$，都有 $f(x_1+x_2)+f(x_1-x_2)=2f(x_1)\cos 2x_2+4a\sin^2x_2$？
试求出 $a$ 的取值范围并给出相应的函数 $f(x)$ 的表达式．		 2022-04-17 19:48:09
15001 602e081125bdad000ac4d54f 高中 解答题 自招竞赛 设二次函数 $f(x)=x^2+bx+c$．已知对任意的实数 $b$，都存在实数 $x\in [1,2]$，使得不等式 $|f(x)|\geqslant x$ 成立，求实数 $c$ 的取值范围． 2022-04-17 19:41:09
14999 602f5b7925bdad0009f7412f 高中 解答题 高中习题 设 $n\in\mathbb{N^{\ast}}$，实数 $x_1,x_2,\ldots, x_n\in[-1,1]$，函数 $f(x)=(x-x_1)(x-x_2)\ldots (x-x_n)$．证明：对任意 $a\in(-1,0), b\in(0,1)$，都有 $\min \{|f(a)|,|f(b)|\}<1$． 2022-04-17 19:41:09
14993 603f655625bdad000ac4d8e0 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点为 $F$，抛物线上有两个动点 $A,B$ 及一个定点 $M$，使得 $AF, MF,BF$ 的长度成等差数列． 2022-04-17 19:37:09
14963 621df746ea59ab000a73d59d 高中 解答题 高中习题 若函数 $f(x)=\frac{1}{2}(\cos x-\sin x)(\cos x-\sin x)+3a(\sin x-\cos x)+(4a-1)x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4},0\right]$ 上单调递减，求实数 $a$ 的取值范围是． 2022-04-17 19:21:09
14962 621df76dea59ab000a73d5a2 高中 解答题 高中习题 解方程：$[\tan x]=2\sin^2x$． 2022-04-17 19:20:09
14949 622edbf5ea59ab000a73d687 高中 解答题 高中习题 已知集合 $A$ 中有三个元素：$a-3,2a-1,a^2+1$，集合 $B$ 中也有三个元素：$0,1,x$． 2022-04-17 19:13:09
14948 622ee26eea59ab0009118a07 高中 解答题 高中习题 若 $\{1,\sqrt{a}\}\subseteq\{1,2,4,a^2\}$，求 $a$ 的值． 2022-04-17 19:13:09
14947 622ee454ea59ab0009118a12 高中 解答题 高中习题 已知：$A=\left\{x~|~3<x\leqslant 6\right\}$，$B=\left\{x~|~m\leqslant x\leqslant 2m+1\right\}$． 2022-04-17 19:12:09
14944 622ef96cea59ab000a73d6d5 高中 解答题 高中习题 求下列函数的定义域： 2022-04-17 19:10:09
14943 622eff46ea59ab0009118a56 高中 解答题 高中习题 判断函数 $f(x)=(x-1)\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}$ 的奇偶性． 2022-04-17 19:10:09
14940 62302828ea59ab000a73d792 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=2x^4+ax^3-x^2+bx-3$ 是偶函数，求 $a,b$ 的值． 2022-04-17 19:08:09
14939 623028e7ea59ab000a73d79f 高中 解答题 高中习题 已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减，在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，$f(3)=0$，解不等式 $xf(x)<0$． 2022-04-17 19:07:09
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