若函数 $f(x)=\frac{1}{2}(\cos x-\sin x)(\cos x-\sin x)+3a(\sin x-\cos x)+(4a-1)x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4},0\right]$ 上单调递减，求实数 $a$ 的取值范围是．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(13)
【标注】
【答案】
$[-\infty,0]$
【解析】
易得$$f(x)=\frac{1}{2}\cos 2x+3a(\sin x-\cos x)+(4a-1)x,$$$$\begin{aligned}
f'(x)&=-\sin 2x+3a(\cos x+\sin x)+4a-1\\
&=-(\sin x+\cos x)^2+3a(\sin x+\cos x)+4a.\\
\end{aligned}$$根据题意，知函数 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, 0\right]$ 上为减函数，故 $f'(x)\leqslant 0$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4},0\right]$ 恒成立．
亦即$$(\sin x+\cos x)^2-3a(\sin x+\cos x)-4a\geqslant 0.$$在区间 $\left[-\frac{\pi}{4},0\right]$ 上恒成立．
令 $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$，则 $t\in[0,1]$．设 $g(t)=t^2-3at-4a$，则条件等价于 $g(t)\geqslant 0\Rightarrow t^2\geqslant a(3t+4)$ 在 $[0,1]$ 上恒成立．由 $3t+4>0$，知条件等价于 $a\leqslant \frac{t^2}{3t+4}$ 在 $t\in[0,1]$ 时恒成立．设 $\phi(t)=\frac{t^2}{3t+4}$，则 $\phi'(t)=\frac{3t^2+8t}{(3t+4)^2}\geqslant 0$．故 $\phi(t)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，所以 $\phi(t)$ 在 $[0,1]$ 上的最小值为 $\phi(0)=0$．因此，$a\leqslant 0$．
f'(x)&=-\sin 2x+3a(\cos x+\sin x)+4a-1\\
&=-(\sin x+\cos x)^2+3a(\sin x+\cos x)+4a.\\
\end{aligned}$$根据题意，知函数 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, 0\right]$ 上为减函数，故 $f'(x)\leqslant 0$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4},0\right]$ 恒成立．
亦即$$(\sin x+\cos x)^2-3a(\sin x+\cos x)-4a\geqslant 0.$$在区间 $\left[-\frac{\pi}{4},0\right]$ 上恒成立．
令 $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$，则 $t\in[0,1]$．设 $g(t)=t^2-3at-4a$，则条件等价于 $g(t)\geqslant 0\Rightarrow t^2\geqslant a(3t+4)$ 在 $[0,1]$ 上恒成立．由 $3t+4>0$，知条件等价于 $a\leqslant \frac{t^2}{3t+4}$ 在 $t\in[0,1]$ 时恒成立．设 $\phi(t)=\frac{t^2}{3t+4}$，则 $\phi'(t)=\frac{3t^2+8t}{(3t+4)^2}\geqslant 0$．故 $\phi(t)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，所以 $\phi(t)$ 在 $[0,1]$ 上的最小值为 $\phi(0)=0$．因此，$a\leqslant 0$．
答案
解析
备注
