解方程：$[\tan x]=2\sin^2x$．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(9)
【标注】
【答案】
$\{x~|~x=k\pi或l\pi+\frac{\pi}{4},k,l\in\mathbb{Z}\}$
【解析】
由 $0\leqslant 2\sin^2x\leqslant 2$，知 $[\tan x]\in\{0,1,2\} $．
若 $ [\tan x]=0 $，则 $ \sin x=0\Rightarrow x=k\pi $（$ k\in\mathbb{Z} $）．
若 $[\tan x]=1 $，则 $ \sin x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=l\pi+\frac{\pi}{4} $（$ l\in\mathbb{Z} $）．
若 $ [\tan x]=2 $，则 $ \sin x=\pm 1 $，此时原方程无解．
综上所述，原方程的解集为 $ \{x~|~x=k\pi或l\pi+\frac{\pi}{4},k,l\in\mathbb{Z}\}$．
若 $ [\tan x]=0 $，则 $ \sin x=0\Rightarrow x=k\pi $（$ k\in\mathbb{Z} $）．
若 $[\tan x]=1 $，则 $ \sin x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=l\pi+\frac{\pi}{4} $（$ l\in\mathbb{Z} $）．
若 $ [\tan x]=2 $，则 $ \sin x=\pm 1 $，此时原方程无解．
综上所述，原方程的解集为 $ \{x~|~x=k\pi或l\pi+\frac{\pi}{4},k,l\in\mathbb{Z}\}$．
答案
解析
备注
