证明对所有的正整数 $n\geqslant 4$，存在一个集合 $S$，满足如下条件：
（1）$S$ 由都小于 $2^{n-1}$ 的 $n$ 个正整数组成；
（2）对 $S$ 的任意两个不同的非空子集 $A,B$，集合 $A$ 中所有元素之和不等于集合 $B$ 中所有元素之和．
（1）$S$ 由都小于 $2^{n-1}$ 的 $n$ 个正整数组成；
（2）对 $S$ 的任意两个不同的非空子集 $A,B$，集合 $A$ 中所有元素之和不等于集合 $B$ 中所有元素之和．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $n=4$ 时，取 $S=\{3,5,6,7\}$，则 $S$ 满足条件．其次，当 $n\geqslant 5$ 时，令 $S=\{3,2^3,2^4,\cdots,2^{n-2},2^{n-1}-3,2^{n-1}-2,2^{n-1}-1\}$．下面证明这样的 $S$ 满足条件．
事实上，设 $A,B$ 是 $S$ 的两个不同的非空子集，令 $f(X)$ 表示集合 $X$ 的所有元素之和，要证明的目标是 $f(A)\ne f(B)$．不妨设 $A\bigcap B=\varnothing$，注意到，对任意 $m\in\mathbf N^{\ast}$ 均有 $1+2+4+\cdots+2^{m-1}=2^m-1<2^m$．所以，当 $a=2^{n-1}-3,b=2^{n-1}-2,c=2^{n-1}-1$ 都不属于 $A\bigcup B$ 时，均有 $f(A)\ne f(B)$．进一步，由于 $3+2^3+2^4+\cdots+2^{n-2}=2^{n-1}-5$，所以当 $a,b,c$ 中恰有一个属于 $A\bigcup B$ 时，例如 $a\in A$，将有 $f(A)>f(B)$，此时 $f(A)\ne f(B)$；类似地讨论 $a,b,c$ 中有两个或 $3$ 个同时属于 $A\bigcup B$ 时均可得出 $f(A)\ne f(B)$．
综上所述，当 $n\geqslant 4$ 时满足条件的 $S$ 都存在．
事实上，设 $A,B$ 是 $S$ 的两个不同的非空子集，令 $f(X)$ 表示集合 $X$ 的所有元素之和，要证明的目标是 $f(A)\ne f(B)$．不妨设 $A\bigcap B=\varnothing$，注意到，对任意 $m\in\mathbf N^{\ast}$ 均有 $1+2+4+\cdots+2^{m-1}=2^m-1<2^m$．所以，当 $a=2^{n-1}-3,b=2^{n-1}-2,c=2^{n-1}-1$ 都不属于 $A\bigcup B$ 时，均有 $f(A)\ne f(B)$．进一步，由于 $3+2^3+2^4+\cdots+2^{n-2}=2^{n-1}-5$，所以当 $a,b,c$ 中恰有一个属于 $A\bigcup B$ 时，例如 $a\in A$，将有 $f(A)>f(B)$，此时 $f(A)\ne f(B)$；类似地讨论 $a,b,c$ 中有两个或 $3$ 个同时属于 $A\bigcup B$ 时均可得出 $f(A)\ne f(B)$．
综上所述，当 $n\geqslant 4$ 时满足条件的 $S$ 都存在．
答案
解析
备注
