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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19257 5d43db2e210b280220ed7031 高中 解答题 自招竞赛 求最大的正整数 $n$，使得存在 $n$ 个互不相同的正整数 $x_{1}, x_{2}, \cdots,x_n$，满足 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=2017$． 2022-04-17 19:00:49
19256 5d43e21b210b280220ed7045 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $m\geqslant 3,n\geqslant 3$．设集合 $S=\{(a, b) | a \in\{1,2, \cdots, m\}$，$b \in\{1,2, \cdots, n\}, A$ 为 $S$ 的子集．若不存在正整数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, y_{1}, y_{2},y_3$ 使得（$x_{1}<x_{2}<x_{3}, y_{1}<y_{2}<y_{3}$ 且 $\left(x_{1}, y_{2}\right),\left(x_{2}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\left(x_{2}, y_{3}\right),\left(x_{3}, y_{2}\right) \in A$，求集合 $A$ 的元素个数的最大值． 2022-04-17 19:59:48
19231 5d44011b210b28021fc79218 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 3$，称同时满足如下条件（i）与（ii）的有限数列为" $n-$ 数列"：
（i）该数列至少有 $3$ 项，且每一项的值属于集合 $\{1,2,\ldots,n\}$；
（ii）若该数列共 $m$ 项，依次为 $a_1 , a_2 , \ldots , a_m$，则对 $k=1,2,\ldots,m-2$，均有 $(a_{k+1}-a_{k})(a_{k+2}-a_{k})<0$．
求" $n$ -数列"的个数．		 2022-04-17 19:47:48
19230 5d4410ee210b28021fc79226 高中 解答题 自招竞赛 平面上的四个点，若以其中每三点为顶点的三角形的面积为 $4$ 个互不相同的正整数，并且其中每两点之间的距离为 $6$ 个互不相同的正整数，则称这四个点的凸包为一个"莲花图"．
（1）试给出一个具体的"莲花图"，同时给出相应的 $4$ 个三角形的面积及每对顶点之间的距离；
（2）证明：平面上存在无穷多个互不相似的"莲花图"．
注：对平面上不共线的有限个点所组成的集合 $S$，其凸包为一个凸多边形区域 $\Omega$（含边界及内部）：$\Omega$ 的每个顶点都是 $S$ 中的点，$S$ 中的每个点都属于 $\Omega$．		 2022-04-17 19:47:48
19225 5d479951210b280220ed717a 高中 解答题 自招竞赛 平面上的四个点，若以其中每三点为顶点的三角形的面积为 $4$ 个互不相同的正整数，并且其中每两点之间的距离为 $6$ 个互不相同的正整数，则称这四个点的凸包为一个"莲花图"．
（1）试给出一个具体的"莲花图"，同时给出相应的 $4$ 个三角形的面积及每对顶点之间的距离；
（2）证明：平面上存在无穷多个互不相似的"莲花图"．
注：对平面上不共线的有限个点所组成的集合 $S$，其凸包为一个凸多边形区域 $\Omega$（含边界及内部）：$\Omega$ 的每个顶点都是 $S$ 中的点，$S$ 中的每个点都属于 $\Omega$．		 2022-04-17 19:44:48
19224 5d4799ca210b280220ed7183 高中 解答题 自招竞赛 一位代课老师带领一组学生去郊游．班主任告诉这位老师其中有两位调皮的学生有时会说谎（但具体是哪两位学生，代课老师不确定），其他学生总说真话．他们在森林中迷失了方向，最后他们汇集在一个十字路口．代课老师知道：他们的营地在四条路中的某条路上，且离这个路口 $20$ 分钟的路程，但不确定具体在哪条路上．学生必须在天黑之前赶回营地．
（1）如果这组学生数是 $8$ 个，离天黑还有 $60$ 分钟，请给出一个确保天黑之前全部学生返回营地的方案，并说明理由；
（2）如果这组学生数是 $4$ 个，离天黑还有 $100$ 分钟，问是否有一个确保天黑之前全部学生返回营地的方案？证明你的结论．		 2022-04-17 19:43:48
19217 5d47bfb8210b28021fc7930c 高中 解答题 自招竞赛 是否能将前 $2015$ 个正整数 $1,2,\ldots,2015$ 按一定的顺序排列在圆周上，使得任何相邻两数的和是 $4$ 的倍数，或者是 $7$ 的倍数？证明你的结论． 2022-04-17 19:39:48
19209 5d47d1b4210b28021fc7936f 高中 解答题 自招竞赛 对每个正整数 $n$，定义集合 $P_n =\{n^k ~|~k=0,1,2,\ldots\}$．对于正整数 $a,b,c$，若存在某个正整数 $m$，使得 $a-1,ab-12,abc-2015$ 这三个数（不必两两不等）都属于集合 $P_m$，则称正整数组 $(a,b,c)$ 是"幸运的"．求所有幸运的正整数组的个数． 2022-04-17 19:34:48
19206 5d47d8e5210b28021fc7939b 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 2$．对平面直角坐标系中的整点集 $A=\{(a,b)~|~a,b\in\{1,2,\ldots,n\}\}$ 中的每个点染红，黄，蓝三种颜色之一，且满足：对任意 $a,b\in\{1,2,\ldots,n-1\}$，若 $(a,b)$ 与 $(a+1,b)$ 两点同色，则 $(a,b+1)$ 与 $(a+1,b+1)$ 两点亦同色．求不同的染色方式的总数． 2022-04-17 19:33:48
19184 5d47e507210b280220ed72b1 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$（$n\geqslant 4$）为正整数．$n$ 个人两两之间各打一场乒乓球比赛（每场比赛都分出胜负）．求 $n$ 的最小值，使得比赛结束后，总存在一个有序四人组 $(A_1 , A_2 , A_3 , A_4 )$，满足当 $1\leqslant i<j\leqslant 4$ 时，$A_i$ 胜 $A_j$． 2022-04-17 19:20:48
19178 5d47f545210b28021fc7940e 高中 解答题 自招竞赛 在所示的图形中，方格 $P$ 的左右两侧分别有 $a$ 个和 $b$ 个方格，上下两侧分别有 $c$ 个和 $d$ 个方格，$a,b,c,d$ 为正整数，满足 $(a-b)(c-d)=0$．称由这些方格所组成的图形为一个"十字星"．现有一张由 $2014$ 个方格所组成的 $38\times 53$ 矩形方格表，求该方格表中十字星的个数． 2022-04-17 19:16:48
19159 5d48f545210b280220ed73c6 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$（$n\geqslant 4$）为正整数．$n$ 个人两两之间各打一场乒乓球比赛（每场比赛都分出胜负）．求 $n$ 的最小值，使得比赛结束后，总存在一个有序四人组 $(A_1 , A_2 , A_3 , A_4 )$，满足当 $1\leqslant i<j\leqslant 4$ 时，$A_i$ 胜 $A_j$． 2022-04-17 19:06:48
19153 5d491ac0210b28021fc79497 高中 解答题 自招竞赛 在所示的图形中，方格 $P$ 的左右两侧分别有 $a$ 个和 $b$ 个方格，上下两侧分别有 $c$ 个和 $d$ 个方格，$a,b,c,d$ 为正整数，满足 $(a-b)(c-d)=0$．称由这些方格所组成的图形为一个"十字星"．现有一张由 $2014$ 个方格所组成的 $38\times 53$ 矩形方格表，求该方格表中十字星的个数． 2022-04-17 19:02:48
19141 5d493be1210b28021fc794e5 高中 解答题 自招竞赛 十二个杂技演员编号分别为 $1,2,\ldots,12$，将他们按适当方式分别围成 $A,B$ 两个圈，每圈 $6$ 人，其中 $B$ 圈的每个演员分别站在 $A$ 圈相邻两个演员的肩膀上．如果 $B$ 圈中每个演员的编号分别等于他脚下两个演员的编号之和，就称这样搭配成的结构为一个"塔"，问总共能搭配成多少个结构不相同的"塔"？
（注：旋转或对称后的塔属于同一种结构．以 $8$ 个人的情况为例，画一个圆，将底层演员编号填在圈内，上层演员编号填在圈外，那么以下三个图均是"塔"，但后两个图分别可由第一个图经旋转或对称而得，故它们属于同一种结构．）		 2022-04-17 19:57:47
19138 5d494949210b280220ed74aa 高中 解答题 自招竞赛 将 $3\times 3$ 正方形任意一个用上的 $2\times 2$ 正方形挖去，剩下的图形称为"角形"（例如，下图就是一个角形）．现于 $10\times 10$ 方格表中放置一些两两不重叠的角形，要求角形的边界与方格表的边界或分格线重合．求正整数 $k$ 的最大值，使得无论以何种方式放置了 $k$ 个角形之后，总能在方格表中再放入一个完整的角形． 2022-04-17 19:56:47
19125 5d4a3b37210b28021fc7956e 高中 解答题 自招竞赛 如果非负整数 $m$ 及其各位数字之和均为 $6$ 的倍数，则称 $m$ 为"六合数"．求小于 $2012$ 的非负整数中"六合数"的个数． 2022-04-17 19:47:47
19122 5d4a43fc210b280220ed7566 高中 解答题 自招竞赛 设 $m$ 是正整数，$n=2^m -1$，$P_n =\{1,2,\ldots,n\}$ 为数轴上 $n$ 个点所成的集合．一个蚱蜢在这些点上跳跃，每步从一个点跳到与之相邻的点．求 $m$ 的最大值，使对任意 $x,y\in P_n$，从点 $x$ 跳 $2012$ 步到点 $y$ 的跳法种数为偶数（允许中途经过点 $x,y$）． 2022-04-17 19:46:47
19105 5d4a75a8210b280220ed75ad 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $M=\{1,2,3, \cdots, 50\}$，正整数 $n$ 满足：$M$ 的任意一个 $35$ 元子集中至少存在两个不同的元素 $a,b$，使 $a+b=n$ 或 $a-b=n$．求出所有这样的 $n$． 2022-04-17 19:37:47
19100 5d4b9640210b280220ed7630 高中 解答题 自招竞赛 将时钟盘面上标有数字 $1,2,\cdots,12$ 的十二个点分别 染上红、黄蓝、绿四色，每色三个点，现以这些点为顶点构作 $n$ 个凸四边形，使其满足：
（1）每个四边形的四个顶点染有不同的颜色；
（2）对于其中任何三个四边形，都存在某一色，染有该色的三个顶点所标数字互不相同．
求 $n$ 的最大值．		 2022-04-17 19:35:47
19042 5d4d2b79210b280220ed77f3 高中 解答题 自招竞赛 在一个圆周上给定 $8$ 个点 $A_1,A_2,\cdots,A_8$．求最小的正整数 $n$，使得以这 $8$ 个点为顶点的任意 $n$ 个三角形中，必存在两个有公共边的三角形． 2022-04-17 19:03:47
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