对每个正整数 $n$，定义集合 $P_n =\{n^k ~|~k=0,1,2,\ldots\}$．对于正整数 $a,b,c$，若存在某个正整数 $m$，使得 $a-1,ab-12,abc-2015$ 这三个数（不必两两不等）都属于集合 $P_m$，则称正整数组 $(a,b,c)$ 是"幸运的"．求所有幸运的正整数组的个数．
【难度】
【出处】
2015中国东南数学奥林匹克试题(高二)
【标注】
【答案】
略
【解析】
我们考虑"幸运的"正整数组 $(a,b,c$）需满足的条件．
设 $m$ 为正整数，$\alpha , \beta , \gamma$ 为非负整数，使得
$a-1=m^{a}$ ①
$a b-12=m^{\beta}$ ②
$a b c-2015=m^{\gamma}$ ③
第一步，我们证明 $ m $ 为偶数．
事实上，假如 $ m $ 为奇数，则由 ① 知 $ a $ 为偶数，所以 ② 的左边为偶数，但右边为奇数，矛盾．因此 $ m $ 为偶数．
第二步，我们证明 $ \gamma=0 $．
用反证法．假设 $ \gamma>0 $，则由 ③ 得，$ abc=2015+m^{\gamma} $ 为奇数，故 $ ab $ 为奇数，再由 ② 知 $ m^{\beta}=ab-12 $ 为奇数，而 $ m $ 为偶数，所以只可能 $ ab-12=1 $，即 $ ab=13 $．
注意到 ①，可知 $ a>1 $，故 $ a=13 $，从而 $ m^{\alpha}=a-1=12 $，这样有 $ m=12 $．此时，由 ③ 得，$ 12^{\gamma}=abc-2015=13(c-155)$，但这是不可能的．
因此必有 $ \gamma=0 $．进而得
$a b c=2016$ ④
第三步，我们证明 $ \alpha=0 $．
用反证法．假设 $ \alpha>0 $，则由 ① 知，$ a $ 为大于 $ 1 $ 的奇数，且由 ④ 得，$ a $ 为 $ 2016 $ 的约数．
注意到 $ 2016=2^5 \times 3^2 \times 7 $，故 $ a $ 只可能为 $ 3,7,9,21,63 $．
对 $ a=3,9,21,63 $ 的情况，有 $ 3~|~a $，故 $ 3~|~ab-12 $，由 ② 得 $ 3~|~m $．但根据 ①，又有 $ m^{\alpha}=a-1\equiv 2\pmod{3} $，
矛盾．
对 $ a=7 $ 的情况，由 ① 知 $ m^{\alpha}=a-1=6 $，这样有 $ m=6 $，此时 ② 变为
$7 b-12=6^{\beta}$ ⑤
但注意到 ⑤ 的右边 $ 6^{\beta}\equiv \pm 1\pmod{7} $，故 ⑤ 不可能成立．矛盾．
由此可知 $ \alpha=0 $．进而 $ a=2 $，结合 ④ 可知，$ bc=1008 $．此时 ② 变为
$2 b-12=m^{\beta}$ ⑥
因此 $ b>6 $．反之，当 $ b>6 $ 时，存在正偶数 $ m=2b-12 $ 及正整数 $ \beta=1 $ 满足 ⑥．
以上表明，正整数组 $(a,b,c)$ 为幸运的，当且仅当 $ a=2,~bc=1008,\text{ 且}b>6 $．
注意到 $ 1008=2^4 \times 3^2 \times 7 $ 的正约数个数为 $(4+1)\times(2+1)\times(1+1)=30 $，其中小大于 $ 6 $ 的正约数有 $ 1,2,3,4,6 $ 这 $ 5 $ 个，故 $ b $ 可取的值有 $ 30-5=25 $（个）．
相应地，幸运的正整数组 $(a,b,c)$ 的个数为 $ 25$．
设 $m$ 为正整数，$\alpha , \beta , \gamma$ 为非负整数，使得
$a-1=m^{a}$ ①
$a b-12=m^{\beta}$ ②
$a b c-2015=m^{\gamma}$ ③
第一步，我们证明 $ m $ 为偶数．
事实上，假如 $ m $ 为奇数，则由 ① 知 $ a $ 为偶数，所以 ② 的左边为偶数，但右边为奇数，矛盾．因此 $ m $ 为偶数．
第二步，我们证明 $ \gamma=0 $．
用反证法．假设 $ \gamma>0 $，则由 ③ 得，$ abc=2015+m^{\gamma} $ 为奇数，故 $ ab $ 为奇数，再由 ② 知 $ m^{\beta}=ab-12 $ 为奇数，而 $ m $ 为偶数，所以只可能 $ ab-12=1 $，即 $ ab=13 $．
注意到 ①，可知 $ a>1 $，故 $ a=13 $，从而 $ m^{\alpha}=a-1=12 $，这样有 $ m=12 $．此时，由 ③ 得，$ 12^{\gamma}=abc-2015=13(c-155)$，但这是不可能的．
因此必有 $ \gamma=0 $．进而得
$a b c=2016$ ④
第三步，我们证明 $ \alpha=0 $．
用反证法．假设 $ \alpha>0 $，则由 ① 知，$ a $ 为大于 $ 1 $ 的奇数，且由 ④ 得，$ a $ 为 $ 2016 $ 的约数．
注意到 $ 2016=2^5 \times 3^2 \times 7 $，故 $ a $ 只可能为 $ 3,7,9,21,63 $．
对 $ a=3,9,21,63 $ 的情况，有 $ 3~|~a $，故 $ 3~|~ab-12 $，由 ② 得 $ 3~|~m $．但根据 ①，又有 $ m^{\alpha}=a-1\equiv 2\pmod{3} $，
矛盾．
对 $ a=7 $ 的情况，由 ① 知 $ m^{\alpha}=a-1=6 $，这样有 $ m=6 $，此时 ② 变为
$7 b-12=6^{\beta}$ ⑤
但注意到 ⑤ 的右边 $ 6^{\beta}\equiv \pm 1\pmod{7} $，故 ⑤ 不可能成立．矛盾．
由此可知 $ \alpha=0 $．进而 $ a=2 $，结合 ④ 可知，$ bc=1008 $．此时 ② 变为
$2 b-12=m^{\beta}$ ⑥
因此 $ b>6 $．反之，当 $ b>6 $ 时，存在正偶数 $ m=2b-12 $ 及正整数 $ \beta=1 $ 满足 ⑥．
以上表明，正整数组 $(a,b,c)$ 为幸运的，当且仅当 $ a=2,~bc=1008,\text{ 且}b>6 $．
注意到 $ 1008=2^4 \times 3^2 \times 7 $ 的正约数个数为 $(4+1)\times(2+1)\times(1+1)=30 $，其中小大于 $ 6 $ 的正约数有 $ 1,2,3,4,6 $ 这 $ 5 $ 个，故 $ b $ 可取的值有 $ 30-5=25 $（个）．
相应地，幸运的正整数组 $(a,b,c)$ 的个数为 $ 25$．
答案
解析
备注
