将时钟盘面上标有数字 $1,2,\cdots,12$ 的十二个点分别 染上红、黄蓝、绿四色，每色三个点，现以这些点为顶点构作 $n$ 个凸四边形，使其满足：
（1）每个四边形的四个顶点染有不同的颜色；
（2）对于其中任何三个四边形，都存在某一色，染有该色的三个顶点所标数字互不相同．
求 $n$ 的最大值．
（1）每个四边形的四个顶点染有不同的颜色；
（2）对于其中任何三个四边形，都存在某一色，染有该色的三个顶点所标数字互不相同．
求 $n$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2011中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
为叙述方便，改用 $A,B,C,D$ 分别表示这四种颜色，而同色的三点，则分别用 $a_1,a_2,a_3;b_1,b_2,b_3;c_1,c_2,c_3$ 以及 $d_1,d_2,d_3$ 来表示．
现考虑其中一色，例如 $A$ 色；若在这 $n$ 个四边形中，$A$ 色点 $a_1,a_2,a_3$ 出现的次数分别为 $n_1,n_2,n_3$，则 $n_1+n_2+n_3=n$，设 $n_1\geqslant n_2\geqslant n_3$；
如果 $n\geqslant 10$，则 $n_1+n_2\geqslant 7$；再考虑这 $7$ 个四边形（其 $A$ 色顶点要么是 $a_1$，要么是 $a_2$），它们中 $B$ 色点 $b_1,b_2,b_3$ 出现的次数分别为 $m_1,m_2,m_3$，则 $m_1+m_2+m_3=7$，据对称性，可设 $m_1\geqslant m_2\geqslant m_3$，则 $m_3\leqslant 2$，即 $m_1+m_2\geqslant 5$；
继续考虑这 $5$ 个四边形（其 $A$ 色顶点要么是 $a_1$，要么是 $a_2$；$B$ 色顶点要么是 $b_1$，要么是 $b_2$），它们中 $C$ 色点 $c_1,c_2,c_3$ 出现的次数分别为 $k_1,k_2,k_3$，则 $k_1+k_2+k_3=5$，据可对称性，可设 $k_1\geqslant k_2\geqslant k_3$，则 $k_3\leqslant 1$，即 $k_1+k_2\geqslant 4$；
最后考虑这 $4$ 个四边形，记为 $T_1,T_2,T_3,T_4$（其 $A$ 色顶点要么是 $a_1$，要么是 $a_2$；$B$ 色顶点要么是 $b_1$，要么是 $b_2$；$C$ 色顶点要么是 $c_1$，要么是 $c_2$），由于 $D$ 色点只有三个，故其中必有两个四边形，其 $D$ 色点相同，设 $T_1,T_2$ 的 $D$ 色点都为 $d_1$；
那么，三个四边形 $T_1,T_2,T_3$ 中，无论哪种颜色的顶点，所标数字皆有重复，这与条件（2）相矛盾!因此，$n\leqslant 9$．
再说明，最大值 $n=9$ 可以取到．采用构造法，我们只要作出这样的九个四边形即可．
作三个“同心圆环图＂，给出标号，并适当旋转相应的圆，标号 对齐后，图中的每根线（半径）上的四个点分别表示一个四边形的 四个顶点颜色及其标号，九条半径共给出九个四边形，且都满足 条件（1）；
再说明，它们也满足条件（2）：从中任取三条半径（三个四边形）；
如果三条半径（三个四边形）来自同一个图，则除了 $A$ 色之外，其余 $B、C、D$ 每色的顶点，三数全有；
如果三条半径（三个四边形）分别来自三个图，则 $A$ 色的顶 点，三数全有；
如果三条半径（三个四边形）分别来自两个图：将三个图分别 称为．$A_1$ 图、$A_2$ 图、$A_3$ 图，每图的三条半径分别称为“向上半径”、"向左半径"、"向右半径"；且分别记为 $S、Z、Y$．
来自两个图的三条半径，如果"向上"、“向左”、“向右“三种半 径都有，那么相应的三个四边形，$B$ 色的顶点，三数全有；
如果三条半径，只涉及两个图、两个方位，将图 $A_1、A_2、A_3$ 分别简记为 $1、2、3$，则按三个图的搭配情况，可得下表：$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
S&1,2&1,2&2&&1&\\\hline
Z&1&&1,2&1,2&&2\\\hline
Y&&2&&1&1,2&1,2\\\hline
\end{array}$$$$产生C色三数$$$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
S&1,2&1,2&1&&2&\\\hline
Z&2&&1,2&1,2&&1\\\hline
Y&&1&&2&1,2&1,2\\\hline
\end{array}$$$$产生D色三数$$$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
S&1,3&1,3&1&&3&\\\hline
Z&3&&1,3&1,3&&1\\\hline
Y&&1&&3&1,3&1,3\\\hline
\end{array}$$$$产生C色三数$$$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
S&1,3&1,3&1&&3&\\\hline
Z&3&&1,3&1,3&&1\\\hline
Y&&1&&1&1,3&1,3\\\hline
\end{array}$$$$产生D色三数$$$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
S&2,3&2,3&3&&2&\\\hline
Z&2&&2,3&2,3&&3\\\hline
Y&&3&&2&2,3&2,3\\\hline
\end{array}$$$$产生C色三数$$$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
S&2,3&2,3&2&&3&\\\hline
Z&3&&2,3&2,3&&2\\\hline
Y&&2&&3&2,3&2,3\\\hline
\end{array}$$$$产生D色三数$$因此本题所求的 $ n $ 的最大值为 $9$．
现考虑其中一色，例如 $A$ 色；若在这 $n$ 个四边形中，$A$ 色点 $a_1,a_2,a_3$ 出现的次数分别为 $n_1,n_2,n_3$，则 $n_1+n_2+n_3=n$，设 $n_1\geqslant n_2\geqslant n_3$；
如果 $n\geqslant 10$，则 $n_1+n_2\geqslant 7$；再考虑这 $7$ 个四边形（其 $A$ 色顶点要么是 $a_1$，要么是 $a_2$），它们中 $B$ 色点 $b_1,b_2,b_3$ 出现的次数分别为 $m_1,m_2,m_3$，则 $m_1+m_2+m_3=7$，据对称性，可设 $m_1\geqslant m_2\geqslant m_3$，则 $m_3\leqslant 2$，即 $m_1+m_2\geqslant 5$；
继续考虑这 $5$ 个四边形（其 $A$ 色顶点要么是 $a_1$，要么是 $a_2$；$B$ 色顶点要么是 $b_1$，要么是 $b_2$），它们中 $C$ 色点 $c_1,c_2,c_3$ 出现的次数分别为 $k_1,k_2,k_3$，则 $k_1+k_2+k_3=5$，据可对称性，可设 $k_1\geqslant k_2\geqslant k_3$，则 $k_3\leqslant 1$，即 $k_1+k_2\geqslant 4$；
最后考虑这 $4$ 个四边形，记为 $T_1,T_2,T_3,T_4$（其 $A$ 色顶点要么是 $a_1$，要么是 $a_2$；$B$ 色顶点要么是 $b_1$，要么是 $b_2$；$C$ 色顶点要么是 $c_1$，要么是 $c_2$），由于 $D$ 色点只有三个，故其中必有两个四边形，其 $D$ 色点相同，设 $T_1,T_2$ 的 $D$ 色点都为 $d_1$；
那么，三个四边形 $T_1,T_2,T_3$ 中，无论哪种颜色的顶点，所标数字皆有重复，这与条件（2）相矛盾!因此，$n\leqslant 9$．
再说明，最大值 $n=9$ 可以取到．采用构造法，我们只要作出这样的九个四边形即可．
作三个“同心圆环图＂，给出标号，并适当旋转相应的圆，标号 对齐后，图中的每根线（半径）上的四个点分别表示一个四边形的 四个顶点颜色及其标号，九条半径共给出九个四边形，且都满足 条件（1）；
再说明，它们也满足条件（2）：从中任取三条半径（三个四边形）；
如果三条半径（三个四边形）来自同一个图，则除了 $A$ 色之外，其余 $B、C、D$ 每色的顶点，三数全有；
如果三条半径（三个四边形）分别来自三个图，则 $A$ 色的顶 点，三数全有；
如果三条半径（三个四边形）分别来自两个图：将三个图分别 称为．$A_1$ 图、$A_2$ 图、$A_3$ 图，每图的三条半径分别称为“向上半径”、"向左半径"、"向右半径"；且分别记为 $S、Z、Y$．
来自两个图的三条半径，如果"向上"、“向左”、“向右“三种半 径都有，那么相应的三个四边形，$B$ 色的顶点，三数全有；
如果三条半径，只涉及两个图、两个方位，将图 $A_1、A_2、A_3$ 分别简记为 $1、2、3$，则按三个图的搭配情况，可得下表：$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
S&1,2&1,2&2&&1&\\\hline
Z&1&&1,2&1,2&&2\\\hline
Y&&2&&1&1,2&1,2\\\hline
\end{array}$$$$产生C色三数$$$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
S&1,2&1,2&1&&2&\\\hline
Z&2&&1,2&1,2&&1\\\hline
Y&&1&&2&1,2&1,2\\\hline
\end{array}$$$$产生D色三数$$$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
S&1,3&1,3&1&&3&\\\hline
Z&3&&1,3&1,3&&1\\\hline
Y&&1&&3&1,3&1,3\\\hline
\end{array}$$$$产生C色三数$$$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
S&1,3&1,3&1&&3&\\\hline
Z&3&&1,3&1,3&&1\\\hline
Y&&1&&1&1,3&1,3\\\hline
\end{array}$$$$产生D色三数$$$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
S&2,3&2,3&3&&2&\\\hline
Z&2&&2,3&2,3&&3\\\hline
Y&&3&&2&2,3&2,3\\\hline
\end{array}$$$$产生C色三数$$$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
S&2,3&2,3&2&&3&\\\hline
Z&3&&2,3&2,3&&2\\\hline
Y&&2&&3&2,3&2,3\\\hline
\end{array}$$$$产生D色三数$$因此本题所求的 $ n $ 的最大值为 $9$．
答案
解析
备注
