是否能将前 $2015$ 个正整数 $1,2,\ldots,2015$ 按一定的顺序排列在圆周上，使得任何相邻两数的和是 $4$ 的倍数，或者是 $7$ 的倍数？证明你的结论．
【难度】
【出处】
2015中国东南数学奥林匹克试题(高一)
【标注】
【答案】
略
【解析】
我们证明，可以将 $1,2,\ldots,2015$ 按题目的要求排列在圆周上．
定义序列
$\begin{array}{l}{A=(1,3,5,7, \cdots, 2013,2015)} \\ {B=(8,4,2012,2008, \cdots, 16,12)} \\ {C=(2,2014,2010,2006, \cdots, 10,6)}\end{array}$
在上述每个序列中，任意相邻两数之和为 $4$ 的倍数．
依次将序列 $A,B,C$ 写在圆周上，恰好得到 $1,2,\ldots,2015$ 的一种圆周排列方式，其中 $A$ 的最后一数 $2015$ 与 $B$ 的第一个数相邻，$B$ 的最后一数 $12$ 与 $C$ 的第一个数 $2$ 相邻，$C$ 的最后一数 $6$ 与 $A$ 的第一个数 $1$ 相邻．
注意 $2015+8,12+2,6+1$ 均为 $7$ 的倍数．
因此，圆周上任意相邻两数的和不是 $4$ 的倍数，就是 $7$ 的倍数．
故我们构造了一种符合条件的排列方式．
定义序列
$\begin{array}{l}{A=(1,3,5,7, \cdots, 2013,2015)} \\ {B=(8,4,2012,2008, \cdots, 16,12)} \\ {C=(2,2014,2010,2006, \cdots, 10,6)}\end{array}$
在上述每个序列中，任意相邻两数之和为 $4$ 的倍数．
依次将序列 $A,B,C$ 写在圆周上，恰好得到 $1,2,\ldots,2015$ 的一种圆周排列方式，其中 $A$ 的最后一数 $2015$ 与 $B$ 的第一个数相邻，$B$ 的最后一数 $12$ 与 $C$ 的第一个数 $2$ 相邻，$C$ 的最后一数 $6$ 与 $A$ 的第一个数 $1$ 相邻．
注意 $2015+8,12+2,6+1$ 均为 $7$ 的倍数．
因此，圆周上任意相邻两数的和不是 $4$ 的倍数，就是 $7$ 的倍数．
故我们构造了一种符合条件的排列方式．
答案
解析
备注
