一位代课老师带领一组学生去郊游．班主任告诉这位老师其中有两位调皮的学生有时会说谎（但具体是哪两位学生，代课老师不确定），其他学生总说真话．他们在森林中迷失了方向，最后他们汇集在一个十字路口．代课老师知道：他们的营地在四条路中的某条路上，且离这个路口 $20$ 分钟的路程，但不确定具体在哪条路上．学生必须在天黑之前赶回营地．
（1）如果这组学生数是 $8$ 个，离天黑还有 $60$ 分钟，请给出一个确保天黑之前全部学生返回营地的方案，并说明理由；
（2）如果这组学生数是 $4$ 个，离天黑还有 $100$ 分钟，问是否有一个确保天黑之前全部学生返回营地的方案？证明你的结论．
（1）如果这组学生数是 $8$ 个，离天黑还有 $60$ 分钟，请给出一个确保天黑之前全部学生返回营地的方案，并说明理由；
（2）如果这组学生数是 $4$ 个，离天黑还有 $100$ 分钟，问是否有一个确保天黑之前全部学生返回营地的方案？证明你的结论．
【难度】
【出处】
2016中国东南数学奥林匹克试题(高二)
【标注】
【答案】
略
【解析】
用 $A,B,C,D$ 表示四条路径．最初 $20$ 分钟，老师探查 $A$ 路径，
若找到营地，则成功确定营地方向．不妨假设老师未找到营地，那么营地必在 $B,C,D$ 三条路径之一．
（1）最初 $20$ 分钟，老师在 $B,C$ 路径各派了 $3$ 名学生，在 $D$ 路径派了 $2$ 名学生．接下来 $20$ 分钟，所有人返回十字路口．对于一切可能发生的报告情况，老师可以按下表作出相应的判断（老师信任某个组，是指信任这个组里多数人的判断）：\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
B 组 & C 组 & D 组 & 可信任的组 \\
\hline
3:0 & 3:0 & 2:0 & B,C \\
\hline
3:0 & 3:0 & 1:1 & B,C \\
\hline
3:0 & 2:1 & 2:0 & B,D \\
\hline
3:0 & 2:1 & 1:1 & B,C \\
\hline
2:1 & 3:0 & 2:0 & C,D \\
\hline
2:1 & 3:0 & 1:1 & B,C \\
\hline
2:1 & 2:1 & 2:0 & B,C,D \\
\hline
2:1 & 2:1 & 1:1 & 不可能发生 \\
\hline
\end{array}其中最后一种情形不可能发生，是因为假如发生了这样的情形，那么每组至少有一个调皮学生，与条件矛盾．进而，老师总能知晓 $B,C,D$ 中两条路径的确切信息，从而在最后 $20$ 分钟带学生走正确路径到达营地．
（2）结论是肯定的．
现有 $80$ 分钟时间进行路径探套并返回十字路口．一种方案如下：
第1轮中，老师派 $4$ 名学生均去探查 $B$ 路径．
如果报告是 $4:0$ 或 $3:1$ 形式，则可以信任多数人的判断，即使回答是否定的，老师还可在第 $2$ 轮自行确定营地是否在 $C$ 路径；
如果报告是 $2:2$ 形式，那么在第2轮中，老师派一位回答"否"的学生 $s$ 去探查 $C$ 路径，同时自己复查一遍 $B$ 路径，若老师找到营地，则成功；若未找到营地，则意味着第1轮回答"是"的 $2$ 名学生是调皮学生，因而 $s$ 不是调皮学生，第2轮中由 $s$ 反馈的 $C$ 路径的信息是可信的．
于是经过两轮探查，老师或者已能确定营地的位置，或者能明确否定 $A,B,C$ 三条路径，从而最后 $20$ 分钟他们可以从十字路口出发到达营地．
若找到营地，则成功确定营地方向．不妨假设老师未找到营地，那么营地必在 $B,C,D$ 三条路径之一．
（1）最初 $20$ 分钟，老师在 $B,C$ 路径各派了 $3$ 名学生，在 $D$ 路径派了 $2$ 名学生．接下来 $20$ 分钟，所有人返回十字路口．对于一切可能发生的报告情况，老师可以按下表作出相应的判断（老师信任某个组，是指信任这个组里多数人的判断）：\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
B 组 & C 组 & D 组 & 可信任的组 \\
\hline
3:0 & 3:0 & 2:0 & B,C \\
\hline
3:0 & 3:0 & 1:1 & B,C \\
\hline
3:0 & 2:1 & 2:0 & B,D \\
\hline
3:0 & 2:1 & 1:1 & B,C \\
\hline
2:1 & 3:0 & 2:0 & C,D \\
\hline
2:1 & 3:0 & 1:1 & B,C \\
\hline
2:1 & 2:1 & 2:0 & B,C,D \\
\hline
2:1 & 2:1 & 1:1 & 不可能发生 \\
\hline
\end{array}其中最后一种情形不可能发生，是因为假如发生了这样的情形，那么每组至少有一个调皮学生，与条件矛盾．进而，老师总能知晓 $B,C,D$ 中两条路径的确切信息，从而在最后 $20$ 分钟带学生走正确路径到达营地．
（2）结论是肯定的．
现有 $80$ 分钟时间进行路径探套并返回十字路口．一种方案如下：
第1轮中，老师派 $4$ 名学生均去探查 $B$ 路径．
如果报告是 $4:0$ 或 $3:1$ 形式，则可以信任多数人的判断，即使回答是否定的，老师还可在第 $2$ 轮自行确定营地是否在 $C$ 路径；
如果报告是 $2:2$ 形式，那么在第2轮中，老师派一位回答"否"的学生 $s$ 去探查 $C$ 路径，同时自己复查一遍 $B$ 路径，若老师找到营地，则成功；若未找到营地，则意味着第1轮回答"是"的 $2$ 名学生是调皮学生，因而 $s$ 不是调皮学生，第2轮中由 $s$ 反馈的 $C$ 路径的信息是可信的．
于是经过两轮探查，老师或者已能确定营地的位置，或者能明确否定 $A,B,C$ 三条路径，从而最后 $20$ 分钟他们可以从十字路口出发到达营地．
答案
解析
备注
