求最大的正整数 $n$，使得存在 $n$ 个互不相同的正整数 $x_{1}, x_{2}, \cdots,x_n$，满足 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=2017$．
【难度】
【出处】
2017中国东南数学奥林匹克试题(高二)
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于最小的 $18$ 个互异正整数的平方和 $1^2+ 2^2 + \cdots + 18^2 = 2109 >2017$，所以任意 $18$ 个互异正整数的平方和大于 $2017$，于是 $n\leqslant 17$．
再证明 $n$ 不能取到 $17$．反证法，假若 $17$ 个互异正整数 $x_1,x_2,\cdots,x_{17}$ 满足 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots+x_{17}^{2}=2017$ ①
因 $2017$ 为 $3N+1$ 型的质数．且知若 $x_j$ 不是 $3$ 的倍数时，由于 $x_{j}^{2} \equiv 1\left(\bmod _{3}\right)$．所以 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{17}$ 中不被 $3$ 整除的数的个数应有 $3a+1$ 个，其余 $3b+1$ 个是 $3$ 的倍数，其中 $(3 a+1)+(3 b+1)=17$，则 $a+b= 5$，其中 $a,b\in N$．
注意 $1^{2}+2^{2}+\dots+17^{2}=1785$，而 $2017-1785=232$，在 $M=\{1,2, \dots,17\}$ 中，$3$ 的倍数有 $5$ 个，其余 $12$ 个数皆与 $3$ 互质，因此，若方程 ① 有解，需从集合 $M$ 中去掉 $k$ 个数，换成 $k$ 个大于 $17$ 的数，使得其平方和值增加 $232$．
当 $k=1$ 时，当从 $M$ 中去掉一个 $3$ 的倍数（使得 $M$ 中剩下的 $3$ 倍数的个数 为 $3b+1$ 个，$b= 1$），这就需要满足 $(3 x)^{2}+232=y^{2}, x \in\{1,2,3,4,5\},y>17$，不可能．
当 $k=2$ 时，有三种情况．
（1）从集合 $M$ 中去掉两个非 $3$ 倍数，补充两个大于 $17$ 的 $3$ 倍数，先考虑去掉 $M$ 中两个最大的非 $3$ 倍数，补充两个大于 $17$ 的最小 $3$ 倍数，由于
$\left(18^{2}+21^{2}\right)-\left(16^{2}+17^{2}\right)=220 \neq 232$，而当从 $M$ 中去掉的这种数中至少有一个换为更小的数，或者从 $M$ 外补充的 这种数中至少有一个换为更大的数时，上述差将大于 $232$，因此以上这种情况 下无解；
（2）从 $M$ 中去掉一个 $3$ 倍数，一个非 $3$ 倍数，补充 $M$ 外两个非 $3$ 倍数，同理，考虑 $M$ 中具有以上性质的最大数与 $M$ 外的最小数，由于 $\left(19^{2}+20^{2}\right)-\left(15^{2}+17^{2}\right)=247>232$，这种情况下无解；
（3）从 $M$ 中去掉两个 $3$ 倍数，补充 $M$ 外一个 $3$ 倍数，一个非 $3$ 倍数，考同样，考虑 $M$ 中具有以上性质的最大数与 $M$ 外的最小数，由于 $\left(18^{2}+19^{2}\right)-\left(12^{2}+15^{2}\right)=316>232$，这种情况下也无解．
当 $k\geqslant 3$ 时，设 $M$ 中去掉 $k$ 个数 $a_{1}, \cdots, a_{k}$，$M$ 外补充 $k$ 个数 $b_{1}, \cdots, b_{k}$，显然有
$\begin{aligned} &\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{k}^{2}\right)-\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{k}^{2}\right) \\ \geqslant &\left(18^{2}+19^{2}+20^{2}\right)-\left(15^{2}+16^{2}+17^{2}\right) \\=& 315>232 \end{aligned}$
故无解．
以上表明．$n\leqslant 16$．
另一方面．当 $n= 16$ 时．考虑 $1^{2}+2^{2}+\cdots+16^{2}=1496$．因 $2017-1496=521$．而发现 $\left(17^{2}+18^{2}+23^{2}\right)-\left(13^{2}+14^{2}+16^{2}\right)=521$，所以将 $13,14,16$ 替换成 $17、18、23$，可知 $1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、15
17、18、23$ 这 $16$ 个互不相同的正整数的平方和为 $2017$．因此，所求最大的正整数 $n$ 为 $16$．
再证明 $n$ 不能取到 $17$．反证法，假若 $17$ 个互异正整数 $x_1,x_2,\cdots,x_{17}$ 满足 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots+x_{17}^{2}=2017$ ①
因 $2017$ 为 $3N+1$ 型的质数．且知若 $x_j$ 不是 $3$ 的倍数时，由于 $x_{j}^{2} \equiv 1\left(\bmod _{3}\right)$．所以 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{17}$ 中不被 $3$ 整除的数的个数应有 $3a+1$ 个，其余 $3b+1$ 个是 $3$ 的倍数，其中 $(3 a+1)+(3 b+1)=17$，则 $a+b= 5$，其中 $a,b\in N$．
注意 $1^{2}+2^{2}+\dots+17^{2}=1785$，而 $2017-1785=232$，在 $M=\{1,2, \dots,17\}$ 中，$3$ 的倍数有 $5$ 个，其余 $12$ 个数皆与 $3$ 互质，因此，若方程 ① 有解，需从集合 $M$ 中去掉 $k$ 个数，换成 $k$ 个大于 $17$ 的数，使得其平方和值增加 $232$．
当 $k=1$ 时，当从 $M$ 中去掉一个 $3$ 的倍数（使得 $M$ 中剩下的 $3$ 倍数的个数 为 $3b+1$ 个，$b= 1$），这就需要满足 $(3 x)^{2}+232=y^{2}, x \in\{1,2,3,4,5\},y>17$，不可能．
当 $k=2$ 时，有三种情况．
（1）从集合 $M$ 中去掉两个非 $3$ 倍数，补充两个大于 $17$ 的 $3$ 倍数，先考虑去掉 $M$ 中两个最大的非 $3$ 倍数，补充两个大于 $17$ 的最小 $3$ 倍数，由于
$\left(18^{2}+21^{2}\right)-\left(16^{2}+17^{2}\right)=220 \neq 232$，而当从 $M$ 中去掉的这种数中至少有一个换为更小的数，或者从 $M$ 外补充的 这种数中至少有一个换为更大的数时，上述差将大于 $232$，因此以上这种情况 下无解；
（2）从 $M$ 中去掉一个 $3$ 倍数，一个非 $3$ 倍数，补充 $M$ 外两个非 $3$ 倍数，同理，考虑 $M$ 中具有以上性质的最大数与 $M$ 外的最小数，由于 $\left(19^{2}+20^{2}\right)-\left(15^{2}+17^{2}\right)=247>232$，这种情况下无解；
（3）从 $M$ 中去掉两个 $3$ 倍数，补充 $M$ 外一个 $3$ 倍数，一个非 $3$ 倍数，考同样，考虑 $M$ 中具有以上性质的最大数与 $M$ 外的最小数，由于 $\left(18^{2}+19^{2}\right)-\left(12^{2}+15^{2}\right)=316>232$，这种情况下也无解．
当 $k\geqslant 3$ 时，设 $M$ 中去掉 $k$ 个数 $a_{1}, \cdots, a_{k}$，$M$ 外补充 $k$ 个数 $b_{1}, \cdots, b_{k}$，显然有
$\begin{aligned} &\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{k}^{2}\right)-\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{k}^{2}\right) \\ \geqslant &\left(18^{2}+19^{2}+20^{2}\right)-\left(15^{2}+16^{2}+17^{2}\right) \\=& 315>232 \end{aligned}$
故无解．
以上表明．$n\leqslant 16$．
另一方面．当 $n= 16$ 时．考虑 $1^{2}+2^{2}+\cdots+16^{2}=1496$．因 $2017-1496=521$．而发现 $\left(17^{2}+18^{2}+23^{2}\right)-\left(13^{2}+14^{2}+16^{2}\right)=521$，所以将 $13,14,16$ 替换成 $17、18、23$，可知 $1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、15
17、18、23$ 这 $16$ 个互不相同的正整数的平方和为 $2017$．因此，所求最大的正整数 $n$ 为 $16$．
答案
解析
备注
