如果非负整数 $m$ 及其各位数字之和均为 $6$ 的倍数，则称 $m$ 为"六合数"．求小于 $2012$ 的非负整数中"六合数"的个数．
【难度】
【出处】
2012中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
易知，一个非负整数为"六合数"当且仅当它末位数字是偶数且各位数字之和是6的倍数．
为方便起见，将 $M=\{0,1,\ldots,2011\}$ 中每个数都写成四位数 $\overline{abcd}$ 的形式（当不足四位数时，在最高数位前补上若干个数字"0"，使之恰含有四个数字），并用 $f(k)$ 表示 $M$ 中末位数字为 $k$ 的"六合数"的个数，其中 $k\in\{0,2,4,6,8\}$．
对 $n\in\mathbb{N}$，将满足 $x+y=n$ 且 $x,y\in\{0,1,\ldots,9\}$ 的 $(x,y)$ 的组数记为 $p_n$，显然
$p_n = \left\{\begin{aligned}
&n+1, &&n=0,1,\ldots,9\\
&19-n, &&n=10,11,\ldots,18\\
&0, &&n\geqslant 19
\end{aligned}\right.$
先考虑一切小于 $2000$ 的"六合数" $\overline{abck}$．
若 $k=0$，则当 $a=0$ 时，$b+c=0,6,12,18$；当 $a=1$ 时，$b+c=5,11,17$，故
$\begin{aligned} f(0) &=\left(p_{0}+p_{6}+p_{12}+p_{18}\right)+\left(p_{5}+p_{11}+p_{17}\right) \\ &=16+16=32 \end{aligned}$
若 $k=2$，则当 $a=0$ 时，$b+c=4,10,16$；当 $a=1$ 时，$b+c=3,9,15$，故
$\begin{aligned} f(2) &=\left(p_{4}+p_{10}+p_{16}\right)+\left(p_{3}+p_{9}+p_{15}\right) \\ &=17+18=35 \end{aligned}$
若 $k=4$，则当 $a=0$ 时，$b+c=2,8,14$；当 $a=1$ 时，$b+c=1,7,13$，故
$\begin{aligned} f(4) &=\left(p_{2}+p_{8}+p_{14}\right)+\left(p_{1}+p_{7}+p_{13}\right) \\ &=17+16=33 \end{aligned}$
当 $k=6,8$ 时，与 $k=0,2$ 的情形类似，有 $
f(6)=f(0)=32,~ f(8)=f(2)=35
$．
因此，小于 $2000$ 的"六合数"有 $f(0)+f(2)+f(4)+f(6)+f(8)=167$ 个．再注意到 $2000$ 至 $2011$ 中恰好有一个"六合数" $2004$，所以所求"六合数"的个数为 $167+1=168$．
证法二
对非负整数 $n$，令 $S(n)$ 为其各位数字之和．
先将小于 $2000$ 的非负整数中所有 $6$ 的倍数（共334个）配成如下 $167$ 对：
$(0,1998),(6,1992),(12,1986),\ldots,(996,1002)$
对上述每对数 $(x,y)$，设 $x=\overline{a_1 a_2 a_3 a_4}$，$y=\overline{b_1 b_2 b_3 b_4}$（约定当 $x$ 或 $y$ 不足四位数时，在最高数位前补上若干个数字"0"，使之恰含有四个数字），则
$\begin{array}{l}{1000\left(a_{1}+b_{1}\right)+100\left(a_{2}+b_{2}\right)+10\left(a_{3}+b_{3}\right)+\left(a_{4}+b_{4}\right)} {=x+y=1998}\end{array}$
因 $x,y$ 为偶数，故 $a_4 , b_4 \leqslant 8$，因此 $a_4 + b_4 \leqslant 16<18$，只能 $a_4 +b_4 =8$；又由 $a_3 +b_3 \leqslant 18<19$ 知，只能 $a_3 +b_3 =9$；类似得 $a_2 + b_2 =9$；最后必有 $a_1 +b_1 =1$．故
$\begin{aligned} S(x)+S(y) &=\left(a_{1}+b_{1}\right)+\left(a_{2}+b_{2}\right)+\left(a_{3}+b_{3}\right)+\left(a_{4}+b_{4}\right) \\ &=1+9+9+8=27 \end{aligned}$
从而 $S(x),S(y)$ 中有且仅有一个 $6$ 的倍数（这是因为 $x,y$ 均被 $3$ 整除，所以 $S(x)$ 与 $S(y)$ 均被 $3$ 整除），故 $x,y$ 有且仅有一个是"六合数"．
从而，小于 $2000$ 的"六合数"共有 $167$ 个，又 $2000$ 至 $2011$ 中恰好有一个"六合数" $2004$，所以所求"六合数"的个数为 $167十1=168$．
易知，一个非负整数为"六合数"当且仅当它末位数字是偶数且各位数字之和是6的倍数．
为方便起见，将 $M=\{0,1,\ldots,2011\}$ 中每个数都写成四位数 $\overline{abcd}$ 的形式（当不足四位数时，在最高数位前补上若干个数字"0"，使之恰含有四个数字），并用 $f(k)$ 表示 $M$ 中末位数字为 $k$ 的"六合数"的个数，其中 $k\in\{0,2,4,6,8\}$．
对 $n\in\mathbb{N}$，将满足 $x+y=n$ 且 $x,y\in\{0,1,\ldots,9\}$ 的 $(x,y)$ 的组数记为 $p_n$，显然
$p_n = \left\{\begin{aligned}
&n+1, &&n=0,1,\ldots,9\\
&19-n, &&n=10,11,\ldots,18\\
&0, &&n\geqslant 19
\end{aligned}\right.$
先考虑一切小于 $2000$ 的"六合数" $\overline{abck}$．
若 $k=0$，则当 $a=0$ 时，$b+c=0,6,12,18$；当 $a=1$ 时，$b+c=5,11,17$，故
$\begin{aligned} f(0) &=\left(p_{0}+p_{6}+p_{12}+p_{18}\right)+\left(p_{5}+p_{11}+p_{17}\right) \\ &=16+16=32 \end{aligned}$
若 $k=2$，则当 $a=0$ 时，$b+c=4,10,16$；当 $a=1$ 时，$b+c=3,9,15$，故
$\begin{aligned} f(2) &=\left(p_{4}+p_{10}+p_{16}\right)+\left(p_{3}+p_{9}+p_{15}\right) \\ &=17+18=35 \end{aligned}$
若 $k=4$，则当 $a=0$ 时，$b+c=2,8,14$；当 $a=1$ 时，$b+c=1,7,13$，故
$\begin{aligned} f(4) &=\left(p_{2}+p_{8}+p_{14}\right)+\left(p_{1}+p_{7}+p_{13}\right) \\ &=17+16=33 \end{aligned}$
当 $k=6,8$ 时，与 $k=0,2$ 的情形类似，有 $
f(6)=f(0)=32,~ f(8)=f(2)=35
$．
因此，小于 $2000$ 的"六合数"有 $f(0)+f(2)+f(4)+f(6)+f(8)=167$ 个．再注意到 $2000$ 至 $2011$ 中恰好有一个"六合数" $2004$，所以所求"六合数"的个数为 $167+1=168$．
证法二
对非负整数 $n$，令 $S(n)$ 为其各位数字之和．
先将小于 $2000$ 的非负整数中所有 $6$ 的倍数（共334个）配成如下 $167$ 对：
$(0,1998),(6,1992),(12,1986),\ldots,(996,1002)$
对上述每对数 $(x,y)$，设 $x=\overline{a_1 a_2 a_3 a_4}$，$y=\overline{b_1 b_2 b_3 b_4}$（约定当 $x$ 或 $y$ 不足四位数时，在最高数位前补上若干个数字"0"，使之恰含有四个数字），则
$\begin{array}{l}{1000\left(a_{1}+b_{1}\right)+100\left(a_{2}+b_{2}\right)+10\left(a_{3}+b_{3}\right)+\left(a_{4}+b_{4}\right)} {=x+y=1998}\end{array}$
因 $x,y$ 为偶数，故 $a_4 , b_4 \leqslant 8$，因此 $a_4 + b_4 \leqslant 16<18$，只能 $a_4 +b_4 =8$；又由 $a_3 +b_3 \leqslant 18<19$ 知，只能 $a_3 +b_3 =9$；类似得 $a_2 + b_2 =9$；最后必有 $a_1 +b_1 =1$．故
$\begin{aligned} S(x)+S(y) &=\left(a_{1}+b_{1}\right)+\left(a_{2}+b_{2}\right)+\left(a_{3}+b_{3}\right)+\left(a_{4}+b_{4}\right) \\ &=1+9+9+8=27 \end{aligned}$
从而 $S(x),S(y)$ 中有且仅有一个 $6$ 的倍数（这是因为 $x,y$ 均被 $3$ 整除，所以 $S(x)$ 与 $S(y)$ 均被 $3$ 整除），故 $x,y$ 有且仅有一个是"六合数"．
从而，小于 $2000$ 的"六合数"共有 $167$ 个，又 $2000$ 至 $2011$ 中恰好有一个"六合数" $2004$，所以所求"六合数"的个数为 $167十1=168$．
答案
解析
备注
