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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27576 59084bf3060a05000bf2920b 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $p,q$，数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=a_2=1$，$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$（$n=1,2,3\cdots $）．求证：要使得对任意正整数 $m,n$，均有 $(a_m,a_n)=a_{(m,n)}$，当且仅当 $p=1$ 时成立． 2022-04-17 21:32:05
27497 59095042060a05000970b3a2 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=x^2+px+q$，求证：$|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|$ 中至少有一个不小于 $\dfrac 12$． 2022-04-17 21:50:04
27496 59095067060a050008cff4f6 高中 解答题 高考真题 设 ${a_1}= 1$，${a_{n + 1}}= \sqrt{a_n^2 - 2{a_n}+ 2}+ b \left(n \in{{\mathbb {N}}^*}\right)$． 2022-04-17 21:49:04
27481 59489280a26d28000a4db4e8 高中 解答题 自招竞赛 证明：若 $n$ 为不小于 $2$ 的自然数，$t$ 为实数且 $\sin\dfrac{t}{2}\neq 0$，则\[\sum_{k=1}^n\left(1+\sum_{p=1}^{k-1}2\cos pt\right)=\left(\dfrac{\sin\dfrac{nt}2}{\sin\dfrac t2}\right)^2.\] 2022-04-17 21:39:04
27471 59489717d37330000a165897 高中 解答题 自招竞赛 已知 ${x_1}{x_2} \cdots {x_n} = 1$，${x_i} > 0$，$i = 1,2, \cdots ,n$，求证：\[\left( {\sqrt 2 + {x_1}} \right)\left( {\sqrt 2 + {x_2}} \right) \cdots \left( {\sqrt 2 + {x_n}} \right) \geqslant {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n}.\] 2022-04-17 21:33:04
27435 5909904c38b6b400072dd210 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 与 $p+2$ 均是素数，$p>3$．数列 $\{a_n\}$ 定义为$$a_1=2,a_n=a_{n-1}+\left\lceil\dfrac{pa_{n-1}}n\right\rceil,n=2,3,\cdots.$$这里 $\left\lceil x\right\rceil$ 表示不小于实数 $x$ 的最小整数．证明：对 $n=3,4,\cdots,p-1$ 均有 $n\mid pa_{n-1}+1$ 成立． 2022-04-17 21:13:04
27375 590ac1166cddca000a08198b 高中 解答题 高考真题 已知 $\{a_n\}$ 为递增数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1>1$，且 $10S_n=\left(2a_n+1\right)\left(a_n+2\right)$，$n\in\mathbb N^*$． 2022-04-17 21:36:03
27368 590ac3fd6cddca0008610e42 高中 解答题 高中习题 给定 $n$ 个正整数，考虑由这 $n$ 个正整数中的一个或多个相加得到的所有的和．求证：这些和可以分成 $n$ 组，且每一组中最大数与最小数之比不大于 $2$． 2022-04-17 21:33:03
27343 5952423cd3b4f90007b6fa27 高中 解答题 高中习题 已知实数 $x,y$ 满足$$\left(\sqrt{x^2+2015}-y\right)\cdot\left(\sqrt{y^2+2015}-x\right)=2015,$$求 $x+y$ 的值． 2022-04-17 21:18:03
27326 590ad6576cddca00092f705c 高中 解答题 高中习题 求证：$\sin x+\dfrac 12\sin 2x+\dfrac 13\sin 3x+\cdots +\dfrac{1}{n}\sin nx>0$，其中 $n\in\mathbb N^*$，$x\in (0,\pi)$． 2022-04-17 21:09:03
27297 590bd2c86cddca00092f70ee 高中 解答题 自招竞赛 证明：$\tan {3^\circ}$ 是无理数． 2022-04-17 21:54:02
27277 590bda916cddca000a081b2e 高中 解答题 自招竞赛 记 $n$ 个元素中取 $k$ 个元素的组合数为 $\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}$，利用数学归纳法证明：对 $n \geqslant1$，$\displaystyle \sum \limits _{k=0} ^{n}\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}=2^n$． 2022-04-17 21:44:02
27263 5955ef8cd3b4f900095c65aa 高中 解答题 自招竞赛 求证：$\forall n \in {\mathbb N^ * }$，${\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n}$ 都能写成 $\sqrt m + \sqrt {m - 1} $（$m \in {\mathbb N^ * }$）的形式．（例如 ${\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} = \sqrt 9 + \sqrt 8 $）． 2022-04-17 21:37:02
27237 590bf084d42ca70008537545 高中 解答题 自招竞赛 若 $a$ 为正整数而 $\sqrt a$ 不为整数，证明：$\sqrt a$ 为无理数． 2022-04-17 21:24:02
27220 590c1518d42ca7000a7e7e4e 高中 解答题 自招竞赛 设有 $mn$ 个实数排成一个 $m$ 行 $n$ 列的阵列 ${\left\{ {{a_{ij}}} \right\}_{m \times n}}$，使得每一行上的 $n$ 个数从左到右都按递增的顺序排列，即对任意 $1 \leqslant i \leqslant m$，当 ${j_1} < {j_2}$ 时有 ${a_{i{j_1}}} \leqslant {a_{i{j_2}}}$．下面把每列上的 $m$ 个数都从上到下按递增的顺序重排得到阵列 ${\left\{ {{a_{ij}}^\prime } \right\}_{m \times n}}$，即对任意的 $1 \leqslant j \leqslant n$，当 ${i_1} < {i_2}$ 时有 ${a_{{i_1}j}}^\prime \leqslant {a_{{i_2}j}}^\prime $，问这个新的阵列 ${\left\{ {{a_{ij}}^\prime } \right\}_{m \times n}}$ 每一行中的 $n$ 个数的大小顺序如何？给出结论并说明理由． 2022-04-17 21:14:02
27197 590c24e5857b4200092b0656 高中 解答题 自招竞赛 求证：$\displaystyle \sum\limits_{i = 0}^{\left[ {\frac{n}{3}} \right]} {\left[ {\dfrac{{n - 3i}}{2}} \right]} = \left[ {\dfrac{{{n^2} + 2n + 4}}{{12}}} \right]$． 2022-04-17 21:01:02
27175 590c388f857b4200092b06f3 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中，${a_1} = 3$，${a_{n + 1}} = a_n^2 - n{a_n} + \alpha $，$n \in {{\mathbb{N}}^*}$，$\alpha \in {\mathbb{R}}$． 2022-04-17 21:48:01
27172 590fbd96857b4200092b0709 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a_1,a_2,\cdots,a_{10}$ 为大于零的正实数，且 ${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_{10}} = 30$，${a_1}{a_2} \cdots {a_{10}} < 21$，求证：$a_1,a_2,\cdots,a_{10}$ 中必有一个数在 $(0,1)$ 之间． 2022-04-17 21:46:01
27165 590fcd7c857b4200085f8646 高中 解答题 自招竞赛 记函数 ${f_n}\left( x \right) = 1 + x + \dfrac{{{x^2}}}{{2! }} + \dfrac{{{x^3}}}{{3! }} + \cdots + \dfrac{{{x^n}}}{{n! }}$，$n = 1, 2, \cdots$．
证明：当 $n$ 是偶数时，方程 ${f_n}\left( x \right) = 0$ 没有实根；当 $n$ 是奇数时，方程 ${f_n}\left( x \right) = 0$ 有唯一的实根 ${\theta _n}$，且 ${\theta _n} > {\theta _{n + 2}}$．		 2022-04-17 21:43:01
27144 590feae7857b420007d3e5ee 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，对于一个正 $n$ 边形 $A_1A_2A_3\cdots A_n$，延长 $A_kA_{k+1}$ 至 $B_{k+1}$（记 $A_{n+1}=A_1$，$B_{n+1}=B_1$），使得 $\triangle A_kB_kB_{k+1}$ 的周长相等．求证：所有三角形均全等． 2022-04-17 21:32:01
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