重置
序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15131 5cc121f4210b28021fc75b86 高中 解答题 自招竞赛 若椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 上不同的三点 $A(x_1,y_1),B(4,\dfrac{9}{5}),C(x_2,y_2)$ 到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段 $AC$ 的中垂线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $T$，求直线 $BT$ 的方程． 2022-04-17 19:52:10
15129 5cc2bfe2210b280220ed2619 高中 解答题 自招竞赛 已知方程 $17x^2-16xy+4y^2-34x+16y+13=0$ 在 $xOy$ 平面上表示一椭圆，试求它的对称中心及对称轴． 2022-04-17 19:50:10
15127 5cc667e7210b280220ed266c 高中 解答题 自招竞赛 已知 $O$ 为坐标原点，$N(1,0)$，点 $M$ 为直线 $x=-1$ 上的动点，$\angle MON$ 的平分线与直线 $MN$ 交于点 $P$，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$． 2022-04-17 19:49:10
15115 5cdbc1d1210b28021fc7628b 高中 解答题 自招竞赛 已知抛物线 $C_1$ 的顶点 $(\sqrt{2}-1,1)$，焦点 $(\sqrt{2}-\dfrac{3}{4},1)$，另一抛物线 $C_2$ 的方程为 $y^2-ay+x+2b=0$，$C_1$ 与 $C_2$ 在一个交点处它们的切线互相垂直．试证 $C_2$ 必过定点，并求该点的坐标． 2022-04-17 19:42:10
15066 5d478f9c210b28021fc7928e 高中 解答题 自招竞赛 已知双曲线 $\Gamma : \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$，$F$ 为 $\Gamma$ 的右焦点，不过 $F$ 的直线 $l$ 与 $\Gamma$ 的右准线及 $\Gamma$ 的右支依次交于点 $C,A,B$．若 $\angle F A B=50^{\circ}, \angle F B A=20^{\circ}$．则 $\angle F C A=$  ． 2022-04-17 19:19:10
15054 5ef04605210b28017ae2f492 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $C$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，且椭圆 $C$ 的任意三个顶点构成的三角形面积为 $\frac{1}{2}$． 2022-04-17 19:12:10
15033 5f27be21210b2865a6788660 高中 解答题 自招竞赛 已知抛物线 $y^2=6x$ 上的两个动点 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$，其中 $x_1\neq x_2$ 且 $x_1+x_2=4$．线段 $AB$ 的垂直平分线与 $x$ 轴交于点 $C$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值． 2022-04-17 19:58:09
15030 5f8ff018210b2863acf5acba 高中 解答题 自招竞赛 已知定长为 $4$ 的线段 $AB$ 的两端点，分别在两条相交直线 $x\pm 2y=0$ 上移动． 2022-04-17 19:57:09
15015 6007a7a48874860009b91f2c 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，三条直线 $l_1,l_2,l_3$ 两两平行，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的距离为 $p$，直线 $l_2$ 与 $l_3$ 的距离为 $\frac{p}{2}$．$A,B$ 是直线 $l_1$ 上的两个定点，且 $|AB|=2p$．$M,N$ 是直线 $l_2$ 上的两个动点，且 $|MN|=2p$．设 $\triangle AMN$ 的外心为 $C$，点 $C$ 到直线 $l_3$ 的距离为 $d$．试求 $d+|BC|$ 的最小值． 2022-04-17 19:48:09
15013 6007e24f887486000a487960 高中 解答题 自招竞赛 经过点 $M(2,-1)$ 作抛物线 $ y^2=x $ 的四条不同的弦 $ P_iQ_i $（$ i=1,2,3,4 $），且 $ P_1,P_2,P_3,P_4 $ 四点的纵坐标依次成等差数列．证明：$$\frac{P_1M}{MQ_1}-\frac{P_2M}{MQ_2}>\frac{P_3M}{MQ_3}-\frac{P_4M}{MQ_4}.$$ 2022-04-17 19:48:09
15011 6011301425bdad000ac4d239 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，已知 $a>b>0, l_1,l_2$ 是双曲线 $\Gamma_1:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的两条渐近线，过椭圆 $\Gamma_2:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点 $F$ 作直线 $m$，使得 $m\perp l_1$，直线 $m$ 与 $l_2$ 的交于点 $P$，与椭圆 $\Gamma_2$ 交于点 $A,B$．求 $\frac{|PB|}{|PA|}$ 的最大值以及此时椭圆 $\Gamma_2$ 的离心率． 2022-04-17 19:46:09
15009 6013b37325bdad000ac4d2cb 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，设 $E,F$ 是抛物线 $\Gamma: y^2=2px$ 上两点，过点 $E,F$ 作 $\Gamma$ 的切线交于点 $C$，点 $A,B$ 分别在线段 $EC,CF$ 延长线上，且满足 $\frac{EC}{CA}=\frac{CF}{FB}$． 2022-04-17 19:45:09
15007 601a42d525bdad0009f73f5d 高中 解答题 自招竞赛 对每个实数 $p\in(0,2)$，设抛物线 $C_p:y^2=2px$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $A$，过定点 $B(-1,0)$ 作一直线 $l$ 与抛物线 $C_p$ 切于点 $K$，过点 $A$ 作 $l$ 的平行线，与抛物线 $C_p$ 交于点 $L,M$．试将 $\triangle KLM$ 的面积表示为 $p$ 的函数 $f(p)$（$0<p<2$），并求 $f(p)$ 的最大值． 2022-04-17 19:44:09
15004 601ba70025bdad0009f73fae 高中 解答题 自招竞赛 设双曲线 $C: x^2-\frac{y^2}{2}=1$．试问：是否存在满足如下条件的直线 $l$？
（a）直线 $l$ 经过双曲线 $C$ 的某个焦点，且与双曲线 $C$ 有两个交点 $A,B$；
（b）$\angle AOB=90^{\circ}$．
若存在，试求出所有这样的直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由．		 2022-04-17 19:43:09
14996 603df64e25bdad000ac4d6e0 高中 解答题 自招竞赛 现有 $n$ 名受访者完成同一份由 $3$ 道选择题组成的问卷，每人在作答每一题时，均在相应的 $4$ 个选项中选出了一项．已知这 $n$ 份答卷中任意两份都至多有一题答案相同，但只要再增加一份答卷，则这 $n+1$ 份答卷中总存在两份，其中至少有两题答案相同．试求 $n$ 的最大值和最小值． 2022-04-17 19:38:09
14995 603e0b4b25bdad000ac4d746 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $\Gamma_k: 4x^2+y^2-8kx-4ky+8k^2-4=0$（$k\in\mathbb{R}$）．问：是否存在这样的直线 $l$，使得对任意实数 $k,l$ 被椭圆 $\Gamma_k$ 截得的线段长都等于 $\frac{\sqrt{5}}{2}$？若存在，试求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由． 2022-04-17 19:37:09
14993 603f655625bdad000ac4d8e0 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点为 $F$，抛物线上有两个动点 $A,B$ 及一个定点 $M$，使得 $AF, MF,BF$ 的长度成等差数列． 2022-04-17 19:37:09
11694 590882e3060a050008cff404 高中 填空题 自招竞赛 设直线系 $M:x\cos \theta+(y-2)\sin \theta=1$（$0\leqslant \theta \leqslant 2{\mathrm \pi}$），对于下列四个命题：
1．$M$ 中所有直线均经过一个定点；
2．存在定点 $P$ 不在 $M$ 中的任一条直线上；
3．对于任意整数 $n(n\geqslant 3)$，存在正 $n$ 边形，其所有边均在 $M$ 中的直线上；
4．$M$ 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号，从小到大排列）．		 2022-04-16 22:22:33
11671 590c2141857b4200092b0637 高中 填空题 高中习题 已知点 $P$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{8}=1$ 上的一个动点，$F_1,F_2,O$ 分别为椭圆的左焦点、右焦点和中心，过 $F_1$ 作 $\angle F_1PF_2$ 的角平分线的垂线，垂足为 $M$，则 $|OM|^2$ 的最大值为 ． 2022-04-16 22:10:33
11655 59631cca3cafba0007613125 高中 填空题 自招竞赛 设 $A,B$ 分别为椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 和双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的公共顶点，$P,M$ 分别是双曲线和椭圆上不同于 $A,B$ 的两动点，且满足 $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}=\lambda(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM})(\lambda \in {\mathbb R},|\lambda |>1)$．设直线 $AP,BP,AM,BM$ 的斜率分别为 $k_1,k_2,k_3,k_4$，且 $k_1+k_2=5$，则 $k_3+k_4=$  ． 2022-04-16 22:01:33
0.326073s