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  解析几何

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  韦达暴算

设椭圆的长半轴长为 $a$，短半轴长为 $b$，则有 $\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, ab=\frac{1}{2}$，解得，$a=1, b=\frac
{1}{2}$，所以椭圆 $C$ 的方程为 $x^2+4y^2=1$

略

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  韦达暴算

设直线 $l$ 的方程为 $x=my+\lambda $，设两个交点坐标为 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$．由 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，得到 $y_1=-2y_2~~~~~ ① $
联立方程组 $\left\{\begin{aligned}&x^2+4y^2=1\\
&x=my+\lambda \end{aligned}\right.$ 得到 $(m^2+4)y^2+2my\lambda +\lambda ^2-1=0 ~~~~~ ② $
显然，$y_1, y_2$ 为方程 $ ② $ 的两个相异的实根，则有
$(2m\lambda)^2-4(\lambda^2-1)(m^2+4)>0$ 于是 $m^2>4(\lambda^2-1)~~~~~ ③ $
由韦达定理的 $y_1+y_2=-\frac{2m\lambda}{m^2+4}, y_1y_2=\frac{\lambda^2-1}{m^2+4}$，联立 $ ① $ 得到
$2(\frac{2m\lambda}{m^2+4})^2+\frac{\lambda^2-1}{m^2+4}=0$ 于是 $m^2=\frac{4(1-\lambda^2)}{9\lambda^2-1}~~~~~~~ ④ $
又 $\lambda=\pm 1, \lambda =\pm \frac{1}{3}$ 不符合题意．把 $ ④ $ 代入 $ ③ $ 得到 $\frac{4(1-\lambda^2)}{9\lambda^2-1}>4(\lambda^2-1)$，于是 $\frac{1}{9}<\lambda^2<1$，于是 $\lambda \in (-1, -\frac{1}{3})\cup (\frac{1}{3}, 1)$．
当 $AB$ 与 $x$ 轴重合时，易验算得：$\lambda =\pm \frac{1}{3}$ 也符合题意．所以实数 $\lambda$ 的取值范围是：$-1<\lambda \leqslant -\frac{1}{3}$，或 $\frac{1}{3}\leqslant \lambda <1$

略