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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15214 5c760019210b284290fc24ef 高中 解答题 自招竞赛 集合 $S$ 有 $6$ 个元素，$P$ 为集合 $S$ 的所有子集构成的集合，从 $P$ 中分别完全随机地选出 $S$ 的子集 $A$，$B$（两个子集不必不同），设集合 $B$ 包含于 $A$ 或 $S-A$ 中至少一个的概率为 $\frac{m}{{{n}'}}$，其中 $m$，$n$，$r$ 为正整数，$n$ 是素数，$m$，$n$ 互素，试求 $m+n+r$（$S$ 中不属于 $A$ 的所有元素组成的集合定义为 $S-A$）。 2022-04-17 19:41:11
15209 5c774274210b284290fc2591 高中 解答题 自招竞赛 一群小孩举行吃葡萄比赛，当比赛结束时，获胜者吃了 $n$ 颗葡萄，第 $k$ 名吃了 $n+2-2k$ 颗葡萄，这次比赛共吃了2009颗葡萄．求 $n$ 的最小可能值． 2022-04-17 19:37:11
15206 5c7742aa210b28428f14ce66 高中 解答题 自招竞赛 从集合 $\left\{ 1 ,2, 3, \ldots ,2009 \right\}$ 中选取 $k$ 对数组 $\left( {{a}_{i}} {{b}_{i}} \right)$（其中 ${{a}_{i}}{{b}_{i}}$）使得没有两对数组有公共的元素．假设所有的和 ${{a}_{i}}+{{b}_{i}}$ 皆互不相同且都小于或等于 $2009$，求 $k$ 的最大值． 2022-04-17 19:35:11
15204 5c774cc7210b28428f14cec1 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $m\geqslant 3$，集合 $S=\left\{ 3, 4 ,5 ,\ldots, m \right\}$ 满足以下条件：把 $S$ 任意划分成两个子集，至少有一个子集包含整数 $a$，$b$，$c$（不一定相异）使得 $ab=c$ 。求 $m$ 的最小值（集合 $S$ 的一个划分是指把 $S$ 分为两个集合 $A$ 和 $B$，使得 $A\bigcap B=\varnothing $，$A\bigcup B=S$） 2022-04-17 19:34:11
15188 5c9c34de210b280b2397ea58 高中 解答题 自招竞赛 求 $1,2,3,4,5\text{,}6$ 满足条件的排列的个数数，对任意 $1\leqslant k\leqslant 5$，前 $k$ 项中至少一个比 $k$ 大 2022-04-17 19:26:11
15184 5ca4146e210b28107f52aa02 高中 解答题 自招竞赛 夏令营有 $3n$（$n$ 是正整数）为女同学参加，每天都有 $3$ 位女同学担任值勤工作。夏令营结束时，发现 $3n$ 位女同学中的任何两位，在同一天担任值勤工作恰好是一次。 2022-04-17 19:24:11
15182 5ca41c6e210b281080bfd8b9 高中 解答题 自招竞赛 （1）证明：存在和为 $1$ 的五个非负实数 $a\text{,}b\text{,}c\text{,}d\text{,}e$，使得将它们任意放置在一个圆周上，总有两个相邻数的乘积不小于 $\frac{1}{9}$；（2）证明：对于和 $1$ 的任意五个非负实数 $a\text{,}b\text{,}c\text{,}d\text{,}e$，总可以将它们适当放置在一个圆周上，且任意相邻两数的乘积均不大于 $\frac{1}{9}$ 。 2022-04-17 19:23:11
15180 5ca423c7210b281080bfd8f9 高中 解答题 自招竞赛 如果存在 $1\text{,}2\cdots \text{,}n$ 的一个排列 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}}$，使得 $k+{{a}_{k}}\left( k\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n \right)$ 都是完全平方数，则称 $n$ 为“好数”。问：在集合 $\left\{ 11\text{,}13\text{,}15\text{,}17\text{,}19 \right\}$ 中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”？说明理由。 2022-04-17 19:22:11
15175 5ca423ec210b28107f52aa83 高中 解答题 自招竞赛 将一个 $3\times 3$ 的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为“十字形”。在一个 $10\times 11$ 的棋盘上，最多可以放置多少个互不重叠的“十字形”（每个“十字形恰好盖住棋盘上的 $5$ 个小方格”）？ 2022-04-17 19:18:11
15172 5ca42835210b281080bfd92c 高中 解答题 自招竞赛 设正整数 $n\left( n\geqslant 3 \right)$ 。如果在平面上有 $n$ 个格点 ${{P}_{1}}\text{,}{{P}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{P}_{n}}$ 满足：当 $\left| {{P}_{i}}{{P}_{j}} \right|$ 为有理数时，存在 ${{P}_{k}}$，使得 $\left| {{P}_{i}}{{P}_{k}} \right|$ 和 $\left| {{P}_{j}}{{P}_{k}} \right|$ 均为无理数；当 $\left| {{P}_{i}}{{P}_{j}} \right|$ 为无理数时，存在 ${{P}_{k}}$，使得 $\left| {{P}_{i}}{{P}_{k}} \right|$ 和 $\left| {{P}_{j}}{{P}_{k}} \right|$ 均为有理数，则称 $n$ 是“好数”。
（1）求最小的好数；（2）问：$2005$ 是否为好数？		 2022-04-17 19:16:11
15168 5ca56b05210b28107f52aaff 高中 解答题 自招竞赛 $8$ 个人参加一次聚会。（1）如果其中任何 $5$ 个人中都有 $3$ 个人两两认识，求证：可以从中找出 $4$ 个人两两认识；（2）试问：如果其中任何 $6$ 个人中都有 $3$ 个人两两认识，那么，是否一定可以找出 $4$ 个人两两认识？ 2022-04-17 19:13:11
15167 5ca56b0a210b28107f52ab04 高中 解答题 自招竞赛 平面上整点集 $S\text{=}\left\{ \left. \left( a\text{,}b \right) \right|1\leqslant a\text{,}b\leqslant 5\left( a\text{,}b\in Z \right) \right\}$，$T$ 为平面上一整点集，对 $S$ 中任一点 $P$，总存在 $T$ 中不同于 $P$ 的一点 $Q$，使得线段 $PQ$ 上除点 $P,Q$ 外无其他整点。问 $T$ 的元素个数最少为多少？ 2022-04-17 19:12:11
15166 5ca56b11210b281080bfd99b 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $M\text{=}\left\{ 1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}19 \right\}\text{,}A\text{=}\left\{ {{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{k}} \right\}\subseteq M$，求最小的 $k$，使得对任意的 $b\in M$，存在 ${{a}_{i}}\text{,}{{a}_{j}}\in A$，满足 $b\text{=}{{a}_{i}}$ 或 $b\text{=}{{a}_{i}}\pm {{a}_{j}}$（${{a}_{i}}\text{,}{{a}_{j}}$ 可以相同） 2022-04-17 19:12:11
15149 5caeda14210b280220ed1c6b 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 2$．黑板上写着 $n$ 个集合，然后进行如下操作：选取黑板上两个互相不包含的集合 $A,B$，擦掉它们，然后写上 $A\bigcap B$ 和 $A\bigcup B$．这称为一次操作．如此操作下去，直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止．对所有的初始状态和操作方式，求操作次数的最大可能值． 2022-04-17 19:03:11
15135 5cbeb6ae210b280220ed23d3 高中 解答题 自招竞赛 证明对所有的正整数 $n\geqslant 4$，存在一个集合 $S$，满足如下条件：
（1）$S$ 由都小于 $2^{n-1}$ 的 $n$ 个正整数组成；
（2）对 $S$ 的任意两个不同的非空子集 $A,B$，集合 $A$ 中所有元素之和不等于集合 $B$ 中所有元素之和．		 2022-04-17 19:55:10
15133 5cbfcba3210b280220ed2426 高中 解答题 自招竞赛 设 $M$ 是由有限个正整数构成的集合，且 $M=A_1\bigcup A_2\bigcup\cdots\bigcup A_{20}=B_1\bigcup B_2\bigcup \cdots\bigcup B_{20}$，这里 $A_i\ne\varnothing,B_i\ne\varnothing,i=1,2,\cdots,20$．并对任意的 $1\leqslant i<j\leqslant 20$，都有 $A_i\bigcap A_j=\varnothing,B_i\bigcap B_j=\varnothing$．已知对任意的 $1\leqslant i\leqslant 20,1\leqslant j\leqslant 20$，若 $A_i\bigcap B_j=\varnothing$，则 $|A_i\bigcup B_j=\leqslant 18|$．求集合 $M$ 的元素个数的最小值．（这里，$|X|$ 表示集合 $X$ 的元素个数） 2022-04-17 19:53:10
15116 5cdb77eb210b280220ed2df5 高中 解答题 自招竞赛 如图，将同心圆环均匀分成 $n(n\geqslant 3)$ 格，在内环中固定数字 $1\sim n$．问能否将数字 $1\sim n$ 填入外环格内，使得外环旋转任意格后，有且仅有一个格中内外环的数字相同？ 2022-04-17 19:43:10
15110 5cfdc7dd210b280220ed4131 高中 解答题 自招竞赛 对任何正整数 $n$，求证：$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n} C_{n}^{k} 2^{k} C_{n-k}^{\left[\frac{n-k}{2}\right]}=C_{2 n+1}^{n}$
其中 $C_{0}^{0}=1,\left[\dfrac{n-k}{2}\right]$ 表示 $\dfrac{n-k}{2}$ 的整数部分．		 2022-04-17 19:40:10
15108 5d07293b210b280220ed468b 高中 解答题 自招竞赛 $MO$ 太空城由 $99$ 个空间站组成．任两空间站之间有管形通道相连．规定其中 $99$ 条通道为双向通行的主干道，其余通道严格单向通行．如果某四个空间站可以通过它们之间的通道从其中任一站到达另外任一站，则称这四个站的集合为一个互通四站组．
试为 $MO$ 太空城设计一个方案，使得互通四站组的数目最大（请具体算出该最大数，并证明你的结论）．		 2022-04-17 19:39:10
15102 5d103589210b280220ed4ac2 高中 解答题 自招竞赛 某公司需要录用一名秘书，共有 $ 10$ 人报名，公司经理决定按照求职报名的顺序逐个面试，前 $ 3$ 个人面试后一定不录 用．自第 $4$ 个人开始将他与前面面试过的人相比较，如果他的能力超过了前面所有已面试过的人，就录用他，否则就不录用，继续面试下一个．如果前 $9$ 个人都不录用，那么就录用最 后一个面试的人．
假定这 $10$ 个人的能力各不相同，可以按能力由强到弱排为第 $1$，第 $2$，…，第 $10$．显然该公司到底录用哪一个人，与这 $10$ 个人报名的顺序有关．大家知道，这样的排列共有 $10!$ 种 我们以 $A_k$ 表示能力第 $k$ 的人能够被录用的不同报名顺序的数目，以 $\dfrac{A_k}{10!}$ 表示他被录用的可能性．
证明：在该公司经理的方针之下，有
（1）$A_{1}>A_{2}>\cdots>A_{8}=A_{9}=A_{10}$；
（2）该公司有超过 $70\%$ 的可能性录取到能力最强的 $3$ 个人之一，而只有不超过 $10\%$ 的可能性录用到能力最弱的 $3$ 个人之一．		 2022-04-17 19:36:10
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