从集合 $\left\{ 1 ,2, 3, \ldots ,2009 \right\}$ 中选取 $k$ 对数组 $\left( {{a}_{i}} {{b}_{i}} \right)$（其中 ${{a}_{i}}{{b}_{i}}$）使得没有两对数组有公共的元素．假设所有的和 ${{a}_{i}}+{{b}_{i}}$ 皆互不相同且都小于或等于 $2009$，求 $k$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
803
【解析】
设 $\displaystyle S=\sum\limits_{i=1}^{k}{\left( {{a}_{i}}+{{b}_{i}}\right)}$，则由题设可知
$1+2+\ldots +2k\le2009+2008+\ldots +\left( 2010-k \right)$．
于是 $k\left(2k+1 \right)\leqslant \frac{1}{2}k\left( 4019-k \right)$，可解得 $k\leqslant\frac{4017}{5}$，故 kc 不能超过 $803$．另一方面，$ \left(1,1207\right)$，$ \left(2,1208 \right)$，…，$ \left(401,1607 \right)$，$ \left(402,805 \right)$，…，$ \left(803,1206 \right)$ 恰好是满足题设的 $ 803$ 对数组，故所求为 $803$．
$1+2+\ldots +2k\le2009+2008+\ldots +\left( 2010-k \right)$．
于是 $k\left(2k+1 \right)\leqslant \frac{1}{2}k\left( 4019-k \right)$，可解得 $k\leqslant\frac{4017}{5}$，故 kc 不能超过 $803$．另一方面，$ \left(1,1207\right)$，$ \left(2,1208 \right)$，…，$ \left(401,1607 \right)$，$ \left(402,805 \right)$，…，$ \left(803,1206 \right)$ 恰好是满足题设的 $ 803$ 对数组，故所求为 $803$．
答案
解析
备注
