某公司需要录用一名秘书，共有 $ 10$ 人报名，公司经理决定按照求职报名的顺序逐个面试，前 $ 3$ 个人面试后一定不录 用．自第 $4$ 个人开始将他与前面面试过的人相比较，如果他的能力超过了前面所有已面试过的人，就录用他，否则就不录用，继续面试下一个．如果前 $9$ 个人都不录用，那么就录用最 后一个面试的人．
假定这 $10$ 个人的能力各不相同，可以按能力由强到弱排为第 $1$，第 $2$，…，第 $10$．显然该公司到底录用哪一个人，与这 $10$ 个人报名的顺序有关．大家知道，这样的排列共有 $10!$ 种 我们以 $A_k$ 表示能力第 $k$ 的人能够被录用的不同报名顺序的数目，以 $\dfrac{A_k}{10!}$ 表示他被录用的可能性．
证明：在该公司经理的方针之下，有
（1）$A_{1}>A_{2}>\cdots>A_{8}=A_{9}=A_{10}$；
（2）该公司有超过 $70\%$ 的可能性录取到能力最强的 $3$ 个人之一，而只有不超过 $10\%$ 的可能性录用到能力最弱的 $3$ 个人之一．
假定这 $10$ 个人的能力各不相同，可以按能力由强到弱排为第 $1$，第 $2$，…，第 $10$．显然该公司到底录用哪一个人，与这 $10$ 个人报名的顺序有关．大家知道，这样的排列共有 $10!$ 种 我们以 $A_k$ 表示能力第 $k$ 的人能够被录用的不同报名顺序的数目，以 $\dfrac{A_k}{10!}$ 表示他被录用的可能性．
证明：在该公司经理的方针之下，有
（1）$A_{1}>A_{2}>\cdots>A_{8}=A_{9}=A_{10}$；
（2）该公司有超过 $70\%$ 的可能性录取到能力最强的 $3$ 个人之一，而只有不超过 $10\%$ 的可能性录用到能力最弱的 $3$ 个人之一．
【难度】
【出处】
2003第18届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
将前 $3$ 个面试者中能力最强的排名名次记为 $a$．显然 $a\leqslant 8$．将此时能力排名第 $k$ 的人被选上的排列集合记作 $A_k(a)$，相应的排列数目记作 $IA_k(a)I$．
（1）易知，当 $a = 1$ 时，必然放过前面 $9$ 个人，录用最后一个面试的人，此时除能力第一的人之外，其余各人机会均等，不难算得 $\left|A_{k}(1)\right|=3 \times 8 ! \triangleq r_{1}, k=2,3, \cdots, 10$ 其中" $\triangleq$ "表示"记为"．
当 $2\leqslant a\leqslant 8$ 时，对于 $a\leqslant k\leqslant 10$，能力排名第 $k$ 的人无录用机会．对于 $1\leqslant k<a$，此时机会均等．事实上，此时能力排名第 $a$ 的人排在前三个，有 $3$ 种选择位置的办法．而能力排名第 $1$ 至第 $a -1$ 的人都排在后 $7$ 个位置上，并且谁位于他们之首就是谁被录用，有排法 $C_{7}^{a-1}(a-2) !$ 种；其余 $10- a$ 个人可以在剩下的位置上任意排列，有 $(10- a)!$ 种排法．故有 $\left|A_{k}(a)\right|=\left\{\begin{array}{l}{3 C_{7}^{a-1}(a-2) !(10-a) ! \triangleq r_{a}, k=1, \cdots, a-1} \\ {0, k=a, \cdots, 10}\end{array}\right.$
上述结果表明 $A_{8}=A_{9}=A_{10}=r_{1}=3 \times 8 !>0$ ①
$\displaystyle A_{k}=r_{1}+\sum\limits_{a=k+1}^{8} r_{a}, k=2, \cdots, 7$ ②
$\displaystyle A_{1}=\sum\limits_{a=2}^{8} r_{a}$ ③
由式 ① 和 ② 知 $A_{2}>A_{3}>\cdots>A_{8}=A_{9}=A_{10}>0$
而由式 ② 和 ③ 知 $A_{1}-A_{2}=r_{2}-r_{1}=3 \times 7 \times 8 !-3 \times 8 !>0$
综合上述，问题（1）获证．
（2）由式 ① 知 $\dfrac{A_{8}+A_{9}+A_{10}}{10 !}=\dfrac{3 \times r_{1}}{10 !}=\dfrac{3 \times 3 \times 8 !}{10 !}=10 \%$ 所以，录用到能力最弱的三人之一的可能性等于 $10 \%$
由式 ② 和 ③ 可知
$\displaystyle A_{1}= \sum\limits_{a=2}^{8} r_{a}=\sum_{a=2}^{8} 3 C_{i}^{a-1}(a-2) !(10-a) != 3 \times 7 ! \sum_{a=2}^{s} \dfrac{(9-a)(10-a)}{a-1}= 3 \times 7 ! \sum_{a=1}^{7} \dfrac{(8-s)(9-s)}{s}\\= 3 \times 7 ! \times\left(56+21+10+5+\dfrac{12}{5}+1+\dfrac{2}{7}\right)= 3 \times 7 ! \times 95 \dfrac{24}{35}>3 \times 7 ! \times 95 \dfrac{2}{3}= 287 \times 7 ! $
$\displaystyle A_{2}= r_{1}+\sum\limits_{a=3}^{8} r_{a}= 3 \times 8 !+3 \times 7 ! \times\left(21+10+5+\dfrac{12}{5}+1+\dfrac{2}{7}\right)= 3 \times 7 ! \times 47 \dfrac{24}{35}>3 \times 7 ! \times 47 \dfrac{2}{3}=143 \times 7 ! $
$\displaystyle A_{3}= r_{1}+\sum\limits_{\alpha=4}^{8} r_{a}= 3 \times 8 !+3 \times 7 ! \times\left(10+5+\dfrac{12}{5}+1+\dfrac{2}{7}\right)= 3 \times 7 ! \times 26 \dfrac{24}{35}>3 \times 7 ! \times 26 \dfrac{2}{3}=80 \times 7 ! $
所以 $\dfrac{A_{1}+A_{2}+A_{3}}{10 !}>\dfrac{287+143+80}{720}=\dfrac{510}{720}=\dfrac{17}{24}>70 \%$
即录用到能力最强三人之一的可能性大于 $70\%$．
（1）易知，当 $a = 1$ 时，必然放过前面 $9$ 个人，录用最后一个面试的人，此时除能力第一的人之外，其余各人机会均等，不难算得 $\left|A_{k}(1)\right|=3 \times 8 ! \triangleq r_{1}, k=2,3, \cdots, 10$ 其中" $\triangleq$ "表示"记为"．
当 $2\leqslant a\leqslant 8$ 时，对于 $a\leqslant k\leqslant 10$，能力排名第 $k$ 的人无录用机会．对于 $1\leqslant k<a$，此时机会均等．事实上，此时能力排名第 $a$ 的人排在前三个，有 $3$ 种选择位置的办法．而能力排名第 $1$ 至第 $a -1$ 的人都排在后 $7$ 个位置上，并且谁位于他们之首就是谁被录用，有排法 $C_{7}^{a-1}(a-2) !$ 种；其余 $10- a$ 个人可以在剩下的位置上任意排列，有 $(10- a)!$ 种排法．故有 $\left|A_{k}(a)\right|=\left\{\begin{array}{l}{3 C_{7}^{a-1}(a-2) !(10-a) ! \triangleq r_{a}, k=1, \cdots, a-1} \\ {0, k=a, \cdots, 10}\end{array}\right.$
上述结果表明 $A_{8}=A_{9}=A_{10}=r_{1}=3 \times 8 !>0$ ①
$\displaystyle A_{k}=r_{1}+\sum\limits_{a=k+1}^{8} r_{a}, k=2, \cdots, 7$ ②
$\displaystyle A_{1}=\sum\limits_{a=2}^{8} r_{a}$ ③
由式 ① 和 ② 知 $A_{2}>A_{3}>\cdots>A_{8}=A_{9}=A_{10}>0$
而由式 ② 和 ③ 知 $A_{1}-A_{2}=r_{2}-r_{1}=3 \times 7 \times 8 !-3 \times 8 !>0$
综合上述，问题（1）获证．
（2）由式 ① 知 $\dfrac{A_{8}+A_{9}+A_{10}}{10 !}=\dfrac{3 \times r_{1}}{10 !}=\dfrac{3 \times 3 \times 8 !}{10 !}=10 \%$ 所以，录用到能力最弱的三人之一的可能性等于 $10 \%$
由式 ② 和 ③ 可知
$\displaystyle A_{1}= \sum\limits_{a=2}^{8} r_{a}=\sum_{a=2}^{8} 3 C_{i}^{a-1}(a-2) !(10-a) != 3 \times 7 ! \sum_{a=2}^{s} \dfrac{(9-a)(10-a)}{a-1}= 3 \times 7 ! \sum_{a=1}^{7} \dfrac{(8-s)(9-s)}{s}\\= 3 \times 7 ! \times\left(56+21+10+5+\dfrac{12}{5}+1+\dfrac{2}{7}\right)= 3 \times 7 ! \times 95 \dfrac{24}{35}>3 \times 7 ! \times 95 \dfrac{2}{3}= 287 \times 7 ! $
$\displaystyle A_{2}= r_{1}+\sum\limits_{a=3}^{8} r_{a}= 3 \times 8 !+3 \times 7 ! \times\left(21+10+5+\dfrac{12}{5}+1+\dfrac{2}{7}\right)= 3 \times 7 ! \times 47 \dfrac{24}{35}>3 \times 7 ! \times 47 \dfrac{2}{3}=143 \times 7 ! $
$\displaystyle A_{3}= r_{1}+\sum\limits_{\alpha=4}^{8} r_{a}= 3 \times 8 !+3 \times 7 ! \times\left(10+5+\dfrac{12}{5}+1+\dfrac{2}{7}\right)= 3 \times 7 ! \times 26 \dfrac{24}{35}>3 \times 7 ! \times 26 \dfrac{2}{3}=80 \times 7 ! $
所以 $\dfrac{A_{1}+A_{2}+A_{3}}{10 !}>\dfrac{287+143+80}{720}=\dfrac{510}{720}=\dfrac{17}{24}>70 \%$
即录用到能力最强三人之一的可能性大于 $70\%$．
答案
解析
备注
