一群小孩举行吃葡萄比赛，当比赛结束时，获胜者吃了 $n$ 颗葡萄，第 $k$ 名吃了 $n+2-2k$ 颗葡萄，这次比赛共吃了2009颗葡萄．求 $n$ 的最小可能值．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
89
【解析】
设参加比赛的小孩的人数为 $c$，$g$ 为参赛者们所吃葡萄的平均数．那么 $g=n-c+1$ 是一个整数，且 $c\cdot g=2009={{7}^{2}}\cdot 41$．另外，最后一各所吃的葡萄数为 $g-\left( c-1 \right)\geqslant 0$，故 $c\leqslant g+1$．因此，有序对 $\left(c, g \right)$ 可能的情况是 $\left( 1 ,2009 \right)$，$\left( 7 ,287 \right)$，$\left( 41, 49 \right)$．当 $\left( c, g \right)=\left( 41 ,49 \right)$ 时，$n=g+\left(c-1 \right)$ 是最小的，即 $41+49-1\text{=}89$．
答案
解析
备注
