查看数据源：5ca423c7210b281080bfd8f9
如果存在 $1\text{,}2\cdots \text{,}n$ 的一个排列 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}}$，使得 $k+{{a}_{k}}\left( k\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n \right)$ 都是完全平方数，则称 $n$ 为“好数”。问：在集合 $\left\{ 11\text{,}13\text{,}15\text{,}17\text{,}19 \right\}$ 中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”？说明理由。
【难度】
【出处】
2004第3届CGMO试题
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    简单组合
    >
    简单组合
  • 知识点
    >
    组合数学
【答案】
除了 $11$ 之外都是“好数”
【解析】
（1）易知 $11$ 只能与 $5$ 相加得到 ${{4}^{2}}$，而 $4$ 也只能与 $5$ 相加得到 ${{3}^{2}}$，因而不存在满足条件的排列。所以 $11$ 不是“好数”。
（2）$13$ 是“好数”，排列如下：$\begin{matrix}
k & 1& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 \\
{{a}_{k}}& 8 & 2 & 13 & 12 & 11 & 10 & 9 & 1 & 7& 6 & 5 & 4 & 3 \\
\end{matrix}$
（3）15是“好数”，排列如下：$\begin{matrix}
k & 1& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\
{{a}_{k}}& 15 & 14 & 13 & 12 & 11 & 10 & 9 & 8 & 7& 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\
\end{matrix}$
（4）17是“好数”，排列如下：$\begin{matrix}
k & 1 & 2& 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 &12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\
{{a}_{k}} & 3& 7 & 6 & 5 & 4 & 10 & 2 & 17 & 16 & 15& 14 & 13 & 12 & 11 & 1 & 9 & 8 \\
\end{matrix}$
（5）19是“好数”，排列如下：$\begin{matrix}
k & 1& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 \\
{{a}_{k}}& 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 16 &15 & 14 & 13 & 12 & 11 & 10 & 9 & 19 & 18 &17 \\
\end{matrix}$
答案 解析 备注
0.109657s