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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15374 598958b15a1cff0009ea22d2 高中 解答题 自招竞赛 $2013$ 个白球和 $2014$ 个黑球任意排成一列，求证：无论如何排列，都至少有个黑球，其左侧（不包括它自己）的黑球和白球的个数相等（可以为 $0$）． 2022-04-17 19:03:13
15367 598aa5da40b385000cb72e76 高中 解答题 自招竞赛 一次竞赛共有 $n$ 道判断题，统计 $8$ 个考生的答题情况发现：对任意两道题，恰有两个考生答“$\rm T,\rm T$”；恰有两个考生答“$\rm F,\rm F$”；恰有两个考生答“$\rm T,\rm F$”；恰有两个考生答“$\rm F,\rm T$”．求 $n$ 的最大值． 2022-04-17 19:01:13
15364 598aa97640b385000cb72ea8 高中 解答题 自招竞赛 已知集合 $A,B$ 都是由正整数组成的集合，且 $|A|=20,|B|=16$，集合 $A$ 满足以下条件：若 $a,b,m,n\in A$，且 $a+b=m+n$，则必有 $\{a,b\}=\{m,n\}$，定义 $A+B=\{a+b|a \in A, b \in B\}$，试确定 $|A+B|$ 的最小值． 2022-04-17 19:59:12
15363 598aae4a40b385000b833282 高中 解答题 自招竞赛 求满足下列条件的最小正整数 $n$：若将集合 $A=\{1,2,3,\cdots,n\}$ 任意划分为 $63$ 个两两不相交的子集（它们非空且并集为集合 $A$）$A_1, A_2, A_3,\cdots, A_{63}$，则总存在两个正整数 $x,y$ 属于同一个子集 $A_i(1 \leqslant i\leqslant 63)$ 且 $x>y,31x\leqslant 32y$． 2022-04-17 19:59:12
15348 59915adf394921000738654e 高中 解答题 自招竞赛 设 $A$ 是一个含有 $n$ 个元素的集合，$A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ 是 $A$ 的互不相同的 $n$ 个子集．证明：在 $A$ 中存在一个元素 $a$，使得 $A_{1}-\{a\},A_{2}-\{a\},\cdots,A_{n}-\{a\}$ 仍是互不相同的集合，其中 $A_{i}-\{a\}=\{x\in A_{i}\mid x\ne a\}$． 2022-04-17 19:50:12
15345 5991668ed2d7460008f2eeae 高中 解答题 自招竞赛 若对任意的正整数 $m$，集合 $\{m,m+1,m+2,\cdots,m+99\}$ 的任意 $n(n \geqslant 3)$ 元子集中，总有 $3$ 个元素两两互素，求 $n$ 的最小值． 2022-04-17 19:48:12
15341 5992432c2d929c0008fba6f6 高中 解答题 自招竞赛 已知 $A \subseteq \{1,2,,\cdots,2014 \}$，设实数 $\lambda_{1}$、$\lambda_{2}$、$\lambda_{3}$、$x_{1}$、$x_{2}$、$x_{3}$ 满足：
① $\lambda_{1}$、$\lambda_{2}$、$\lambda_{3} \in \{-1,0,1\}$ 且不全为 $0$；
② $x_{1}$、$x_{2}$、$x_{3} \in A$；
③ 若 $x_{i} = x_{j} $，则 $\lambda_{i} \lambda_{j} \ne -1 (1\leqslant i,j\leqslant 3)$．
如果所有形如 $x_{1}x_{2}x_{3}$ 和 $\lambda_{1}x_{1} +\lambda_{2}x_{2}+\lambda_{3}x_{3} $ 的数均不是 $2014$ 的倍数，那么称 $A$ 为“好集”．求“好集”$A$ 所含元素的最大值．		 2022-04-17 19:46:12
15339 599299d077d145000f32c2e1 高中 解答题 自招竞赛 有 $10$ 个选手 $A_1,A_2,\cdots,A_{10}$，他们的积分分别为 $9,8,7,6,5,4,3,2,1,0$，名词分别为第 $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$．现进行单循环比赛，即任意两个选手之间都恰进行一场比赛，且每场比赛都要分出胜负，若名次靠前的选手胜了名次靠后的选手，则胜者得 $1$ 分，负者的 $0$ 分；若名次靠后的选手胜了名次靠前的选手，则胜者得 $2$ 分，负者得 $0$ 分，全部比赛结束后计算每个选手的累计积分（即这次单循环所得的分数与之前的积分相加所得的和），并根据累计积分重新排名，求新的冠军累计积分的最小值（名次并列是允许的）． 2022-04-17 19:45:12
15337 59929eac77d145000dbd87d5 高中 解答题 自招竞赛 设 $M=(1,2,\cdots,2008)$ 是前 $2008$ 个正整数组成的集合，$A=\{a_1,a_2,\cdots,a_{30}\}$ 是 $M$ 的一个 $30$ 元子集，已知 $A$ 中的元素两两互质，证明 $A$ 中至少有一半元素是质数． 2022-04-17 19:43:12
15329 59a37072fc0b3d0009a8f754 高中 解答题 自招竞赛 已知 $3\times 7$ 个正方形格子组成的矩形中，每格涂蓝色或者红色，求证：必然存在一个由正方形格子组成的矩形，它的四个角对应的正方形格子是同色的． 2022-04-17 19:40:12
15320 59b73332b049650007283196 高中 解答题 自招竞赛 设 $m,n$ 均是大于 $1$ 的整数，$m\geqslant n$．$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是 $n$ 个不超过 $m$ 的互不相同的正整数，且 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 互素．证明：对任意实数 $x$，均存在一个 $i(1\leqslant i\leqslant n)$，使得 $||a_ix||\geqslant\dfrac{2}{m(m+1)}||x||$，这里 $||y||$ 表示实数 $y$ 到与它最近的整数的距离． 2022-04-17 19:36:12
15319 59b7338bb04965000728319c 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1,a_2,\cdots,a_{20}\in\{1,2,\cdots,5\}$，$b_1,b_2,\cdots,b_{20}\in\{1,2,\cdots,10\}$，集合 $X=\{(i,j)\mid 1\leqslant i<j\leqslant20,(a_i-a_j)(b_i-b_j)<0\}$，求 $X$ 的元素个数的最大值． 2022-04-17 19:36:12
15317 59b7341ab049650008cb6701 高中 解答题 自招竞赛 将 $33\times 33$ 方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”．试求分隔边条数的最小值． 2022-04-17 19:34:12
15310 59bb3b4f77c760000717e3b7 高中 解答题 自招竞赛 有 $n$ 个不同的元素，从中取 $n+1$ 个不同的三元集合，求证：一定存在两个三元集合，其中恰有一个元素相同． 2022-04-17 19:31:12
15307 59bb3cf977c760000717e3e4 高中 解答题 自招竞赛 令 $A$ 表示由 $\{1,2,3,\cdots,2017\}$ 中的元素组成的所有数列（任意有限或无限长）$\{a_1,a_2,\cdots\}$ 构成的集合．称数列 $M$ 以数列 $T$“开头”，如果数列 $M$ 前连续若干项是数列 $T$．由一些有限长数列组成的集合 $S\subset A$ 满足：对 $A$ 中任意一个无穷长的数列 $M$，都存在 $S$ 中唯一数列 $T$，$M$ 以 $T$ 开头．问下面三个结论哪个成立：
① $S$ 一定是有限集；
② $S$ 一定是无限集；
③ $S$ 可以是有限集合也可以是无限集．
证明你的结论．		 2022-04-17 19:29:12
15291 5a24c5bdf25ac10009ad6e4b 高中 解答题 自招竞赛 若一些实数组成的集合可划分为三个非空子集，使得对取自任两个不同子集的任意元素 $x,y$，均有 $2(x+y)$ 在第三个子集中，则称此集合具有可分二倍和性质，试判断所有有理数组成的集合是否具有可分二倍和性质，并证明你的结论． 2022-04-17 19:21:12
15289 5a2a5074f25ac1000885efa5 高中 解答题 自招竞赛 试确定所有的正整数 $k$，使得集合 $P=\{2006,2006+1,2006+2,\cdots,2006+k\}$ 可以分成两个不相交的子集 $A$ 与 $B$，且 $A$ 中的元素之和等于 $B$ 中的元素之和． 2022-04-17 19:20:12
15285 5a4b48a234d6f9000837b8dc 高中 解答题 自招竞赛 设 $x_1,x_2,\cdots,x_{100}\in [-1,1]$，求证：存在 $i\ne j$ 使得 $|x_ix_{j+1}-x_jx_{i+1}|<\dfrac{1}{12}$． 2022-04-17 19:18:12
15276 5a7093f29bb0f20008eafccc 高中 解答题 高中习题 设 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 是 $5$ 个正实数（可以相等），证明：一定存在 $4$ 个互不相同的下标 $i,j,k,l$，使得 $\left|\dfrac{a_i}{a_j}-\dfrac{a_k}{a_l}\right|<\dfrac 12$． 2022-04-17 19:13:12
15255 5c6a4e8f210b281db9f4c77b 高中 解答题 自招竞赛 一个数集的和是指它的所有元素之和．令 $S$ 是一些不超过15的正整数组成的集合，$S$ 的任意两个不相交的子集合的和不相等，并且在所有具有上述性质的集合中，$S$ 的和最大，求集合 $S$ 的和． 2022-04-17 19:02:12
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