一次竞赛共有 $n$ 道判断题，统计 $8$ 个考生的答题情况发现：对任意两道题，恰有两个考生答“$\rm T,\rm T$”；恰有两个考生答“$\rm F,\rm F$”；恰有两个考生答“$\rm T,\rm F$”；恰有两个考生答“$\rm F,\rm T$”．求 $n$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
$7$
【解析】
记“$\rm T$”为 $1$，“$\rm F$”为 $0$，从而得到一个 $8$ 行 $n$ 列的数表．显然交换同一列的 $0$ 和 $1$，此表的性质不改变，因此不妨设数表第一行全为 $0$．
设第 $i$ 行共有 $a_i$ 个 $0(i=1,2,\cdots, 8)$，则\[a_1 = n, \sum\limits_{i=2}^{8}a_i = 4n-n=3n,\]下面计算同一行中的“$00$”的对数．
一方面依题意共有 $2{\rm C}_n^2$，另一方面按行计算共有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{8}{\rm C}_{a_i}^2$，于是$$\sum\limits_{i=1}^{8}{\rm C}_{a_i}^2=2{\rm C}_n^2,$$即$$\sum\limits_{i=2}^{8}{\rm C}_{a_i}^2={\rm C}_n^2,$$即\[\sum\limits_{i=2}^{8}a_i^2-\sum\limits_{i=2}^{8}a_i = n^2-n,\]由柯西不等式\[\sum\limits_{i=2}^{8}a_i^2 \geqslant \dfrac 1 7\left(\sum\limits_{i=2}^{8}a_i\right)^2.\]所以$$\dfrac 1 7\left(\sum\limits_{i=2}^{8}a_i\right)^2 - \sum\limits_{i=2}^{8}a_i \leqslant n^2-n,$$即\[\dfrac 1 7 \cdot (3n)^2 - 3n \leqslant n^2 -n,\]解得 $n \leqslant 7$．
举例如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \hline
\end{array}\]故 $n$ 的最大值为 $7$．
设第 $i$ 行共有 $a_i$ 个 $0(i=1,2,\cdots, 8)$，则\[a_1 = n, \sum\limits_{i=2}^{8}a_i = 4n-n=3n,\]下面计算同一行中的“$00$”的对数．
一方面依题意共有 $2{\rm C}_n^2$，另一方面按行计算共有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{8}{\rm C}_{a_i}^2$，于是$$\sum\limits_{i=1}^{8}{\rm C}_{a_i}^2=2{\rm C}_n^2,$$即$$\sum\limits_{i=2}^{8}{\rm C}_{a_i}^2={\rm C}_n^2,$$即\[\sum\limits_{i=2}^{8}a_i^2-\sum\limits_{i=2}^{8}a_i = n^2-n,\]由柯西不等式\[\sum\limits_{i=2}^{8}a_i^2 \geqslant \dfrac 1 7\left(\sum\limits_{i=2}^{8}a_i\right)^2.\]所以$$\dfrac 1 7\left(\sum\limits_{i=2}^{8}a_i\right)^2 - \sum\limits_{i=2}^{8}a_i \leqslant n^2-n,$$即\[\dfrac 1 7 \cdot (3n)^2 - 3n \leqslant n^2 -n,\]解得 $n \leqslant 7$．
举例如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \hline
\end{array}\]故 $n$ 的最大值为 $7$．
答案
解析
备注
