已知集合 $A,B$ 都是由正整数组成的集合，且 $|A|=20,|B|=16$，集合 $A$ 满足以下条件：若 $a,b,m,n\in A$，且 $a+b=m+n$，则必有 $\{a,b\}=\{m,n\}$，定义 $A+B=\{a+b|a \in A, b \in B\}$，试确定 $|A+B|$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$200$
【解析】
记\[A=\{a_1,a_2,\cdots,a_{20}\},\]\[B=\{b_1,b_2,\cdots,b_{16}\},\]\[C_j=\{a_i+b_j|i=1,2,\cdots, 20\},j=1,2,\cdots,16,\]则\[A+B=\bigcup\limits_{j=1}^{16}C_j.\]可以证明：$|C_m \cap C_n|\leqslant 1(m \ne n)$．
事实上，设存在 $C_m,C_n(m \ne n),|C_m \cap C_n|\geqslant 2$，则存在 $k_1,k_2,l_1,l_2$，使得\[a_{k_1}+b_m,a_{k_2}+b_m,a_{l_1}+b_n,a_{l_2}+b_n \in C_m \cap C_n\]且\[a_{k_1}+b_m=a_{k_2}+b_n,a_{l_1}+b_m=a_{l_2}+b_n,a_{k_1}\ne a_{k_2},a_{l_1}\ne a_{l_2},\]但是\[a_{k_1}- a_{k_2}=a_{l_1}- a_{l_2},\]由此得\[a_{k_1}+ a_{l_2}=a_{l_1}+a_{k_2},\]则\[\{a_{k_1}+ a_{l_1}\}=\{a_{k_2}+a_{l_2}\},\]又 $a_{k_1}\ne a_{k_2},a_{l_1}\ne a_{l_2}$，则必有 $a_{k_1}= a_{l_1}, a_{k_2}=a_{l_2}$，这不可能，若成立，则\[a_{k_1}+b_m \in C_n, a_{l_2}+b_n \in C_m,\]由此得 $a_{k_1}=b_n,a_{l_2}=b_m$，即 $C_m \cap C_n$ 中最多只有一个元素，矛盾，故 $|C_m \cap C_n|\leqslant 1(m \ne n)$．
由容斥原理\[|A+B|=\left| \bigcup\limits_{k=1}^{16}C_k\right| \geqslant \sum\limits_{k=1}^{16}\left|C_k\right|-\sum\limits_{1\leqslant m<n\leqslant16}\left|C_m \cap C_n\right|=320-120=200.\]另一方面，令\[A=\{2,2^2,2^3,\cdots,2^{20}\},B=\{2,2^2,2^3,\cdots,2^{16}\},\]则容易验证：若 $m\ne n\ne k$，则\[C_m \cap C_n = \{2^m+2^n\},C_m \cap C_n \cap C_k=\varnothing,\]因此 $|A+B|=200$．
综上所述，$|A+B|$ 的最小值为 $200$．
事实上，设存在 $C_m,C_n(m \ne n),|C_m \cap C_n|\geqslant 2$，则存在 $k_1,k_2,l_1,l_2$，使得\[a_{k_1}+b_m,a_{k_2}+b_m,a_{l_1}+b_n,a_{l_2}+b_n \in C_m \cap C_n\]且\[a_{k_1}+b_m=a_{k_2}+b_n,a_{l_1}+b_m=a_{l_2}+b_n,a_{k_1}\ne a_{k_2},a_{l_1}\ne a_{l_2},\]但是\[a_{k_1}- a_{k_2}=a_{l_1}- a_{l_2},\]由此得\[a_{k_1}+ a_{l_2}=a_{l_1}+a_{k_2},\]则\[\{a_{k_1}+ a_{l_1}\}=\{a_{k_2}+a_{l_2}\},\]又 $a_{k_1}\ne a_{k_2},a_{l_1}\ne a_{l_2}$，则必有 $a_{k_1}= a_{l_1}, a_{k_2}=a_{l_2}$，这不可能，若成立，则\[a_{k_1}+b_m \in C_n, a_{l_2}+b_n \in C_m,\]由此得 $a_{k_1}=b_n,a_{l_2}=b_m$，即 $C_m \cap C_n$ 中最多只有一个元素，矛盾，故 $|C_m \cap C_n|\leqslant 1(m \ne n)$．
由容斥原理\[|A+B|=\left| \bigcup\limits_{k=1}^{16}C_k\right| \geqslant \sum\limits_{k=1}^{16}\left|C_k\right|-\sum\limits_{1\leqslant m<n\leqslant16}\left|C_m \cap C_n\right|=320-120=200.\]另一方面，令\[A=\{2,2^2,2^3,\cdots,2^{20}\},B=\{2,2^2,2^3,\cdots,2^{16}\},\]则容易验证：若 $m\ne n\ne k$，则\[C_m \cap C_n = \{2^m+2^n\},C_m \cap C_n \cap C_k=\varnothing,\]因此 $|A+B|=200$．
综上所述，$|A+B|$ 的最小值为 $200$．
答案
解析
备注
