求满足下列条件的最小正整数 $n$：若将集合 $A=\{1,2,3,\cdots,n\}$ 任意划分为 $63$ 个两两不相交的子集（它们非空且并集为集合 $A$）$A_1, A_2, A_3,\cdots, A_{63}$，则总存在两个正整数 $x,y$ 属于同一个子集 $A_i(1 \leqslant i\leqslant 63)$ 且 $x>y,31x\leqslant 32y$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
考虑模 $63$ 的剩余类，即将集合 $A$ 划分为如下 $63$ 个两两不相交的子集：\[A_i=\{a|a=63k+i,k \in \mathbb N\},i=1,2,3,\cdots,63.\]则对每一个 $A_i(1\leqslant i\leqslant 63)$ 及任意的 $x,y \in A_i(x>y)$ 都有 $x-y \geqslant 63$．
于是，$y\leqslant x-63,x\leqslant n$．
所以\[32y-31x\leqslant 32(x-63)-31x=x-32 \times 63\leqslant n-2016.\]若 $n<2016$，则\[32y-31x\leqslant n-2016<0, 31x>32y,\]与 $31x \leqslant 32y$ 矛盾．
所以 $n<2016$ 时，不满足题设条件．
另一方面，当 $n=2016$ 时，由 $2016=32\times63$ 知，下列 $64$ 个数：$31 \times 63,31\times 63+1,31\times 63+2, \cdots, 31 \times 63+63$ 都在集合 $A$ 中．
因此，对将 $A=\{1,2,3,\cdots,n\}$ 任意划分为 $63$ 个两两不相交的子集 $A_1,A_2,A_3,\cdots, A_{63}$ 的划分方法，由抽屉原则知，$31 \times 63, 31\times 63+1,31\times 63+2, \cdots, 31 \times 63+63$ 这 $64$ 个数中必有两个数 $x,y(x>y)$ 属于同一个 $A_i$．
设 $x=31 \times 63+x_1,y=31 \times 63+y_1, 63\geqslant x_1>y_1 \geqslant 0$．
于是\[\begin{split}31x-32y&=31 \times(31\times 63 +x_1)-32 \times(31 \times 63+y_1)\\&=(31x_1 -32y_1)+31 \times 63 \times(31-32)\\&\leqslant 31x_1-31 \times 63 \leqslant 31\times 63 -31 \times 63\\&=0.\end{split}\]所以 $n=2016$，满足题设的条件．
综上可知，满足题设条件的 $n$ 的最小值为 $2016$．
于是，$y\leqslant x-63,x\leqslant n$．
所以\[32y-31x\leqslant 32(x-63)-31x=x-32 \times 63\leqslant n-2016.\]若 $n<2016$，则\[32y-31x\leqslant n-2016<0, 31x>32y,\]与 $31x \leqslant 32y$ 矛盾．
所以 $n<2016$ 时，不满足题设条件．
另一方面，当 $n=2016$ 时，由 $2016=32\times63$ 知，下列 $64$ 个数：$31 \times 63,31\times 63+1,31\times 63+2, \cdots, 31 \times 63+63$ 都在集合 $A$ 中．
因此，对将 $A=\{1,2,3,\cdots,n\}$ 任意划分为 $63$ 个两两不相交的子集 $A_1,A_2,A_3,\cdots, A_{63}$ 的划分方法，由抽屉原则知，$31 \times 63, 31\times 63+1,31\times 63+2, \cdots, 31 \times 63+63$ 这 $64$ 个数中必有两个数 $x,y(x>y)$ 属于同一个 $A_i$．
设 $x=31 \times 63+x_1,y=31 \times 63+y_1, 63\geqslant x_1>y_1 \geqslant 0$．
于是\[\begin{split}31x-32y&=31 \times(31\times 63 +x_1)-32 \times(31 \times 63+y_1)\\&=(31x_1 -32y_1)+31 \times 63 \times(31-32)\\&\leqslant 31x_1-31 \times 63 \leqslant 31\times 63 -31 \times 63\\&=0.\end{split}\]所以 $n=2016$，满足题设的条件．
综上可知，满足题设条件的 $n$ 的最小值为 $2016$．
【解析】
无
答案
解析
备注
