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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15198 5c91ccd5210b286d125ef449 高中 解答题 自招竞赛 等边 $\Delta ABC$ 中，$D\text{,}E$ 三分 $BC$ 。 $\sin \left( \angle DAE \right)$ 可被表示为 $\frac{a\sqrt{b}}{c}$，其中 $a\text{,}c$ 为互质正整数，$b$ 为没有平方因子的正整数。求 $a+b+c$ 2022-04-17 19:31:11
15197 5c91cd1f210b286d125ef46c 高中 解答题 自招竞赛 $A,B,C$ 为锐角三角形的三个内角，满足
${{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+2\sin A\sin B\cos C\text{=}\frac{15}{8}\text{,}{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C+2\sin B\sin C\cos A\text{=}\frac{14}{9}$ 存在正整数 $p\text{,}q\text{,r,s}$ 使得 ${{\cos }^{2}}C+{{\cos }^{2}}A+2\sin C\sin A\cos B\text{=}\frac{p-q\sqrt{r}}{s}$ 其中 $p+q\text{,}s$ 互质，$r$ 为没有平方因子。求 $p+q+r+s$		 2022-04-17 19:30:11
15196 5c944b8f210b286d125ef587 高中 解答题 自招竞赛 $\Delta ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 满足 $\cos 3A+\cos 3B+\cos 3C\text{=}1$，三角形有两边长分别为 $10$ 与 $13$ 。设第三边的最大值为 $\sqrt{m}$，其中 $m$ 是正整数，求 $m$ 的值 2022-04-17 19:30:11
15187 5c9d8109210b280b2397eb64 高中 解答题 自招竞赛 $\displaystyle \prod\limits_{k = 1}^{45} {{{\csc }^2}(2k -1)^\circ } = {m^n}$ 。其中 $m$ 和 $n$ 是大于1的正整数。求 $m + n$ 。 2022-04-17 19:25:11
15123 5cd0fce2210b28021fc75eca 高中 解答题 自招竞赛 $\triangle ABC$ 中，$A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c,\tan C=\dfrac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B},\sin(B-A)=\cos C$． 2022-04-17 19:47:10
15096 5d1079db210b28021fc7771f 高中 解答题 自招竞赛 设 $\theta_{i} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), i=1,2,3,4$．证明：存在 $x \in \mathbf{R}$，使得如下两个不等式
$\cos ^{2} \theta_{1} \cos ^{2} \theta_{2}-\left(\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}-x\right)^{2} \geqslant 0$ ①
$\cos ^{2} \theta_{3} \cos ^{2} \theta_{4}-\left(\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}-x\right)^{2} \geqslant 0$ ②
同时成立的充要条件是
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{4} \sin ^{2} \theta_{i} \leqslant 2\left(1+\prod_{i=1}^{4} \sin \theta_{i}+\prod_{i=1}^{4} \cos \theta_{i}\right)$ ③		 2022-04-17 19:34:10
15092 5d1311ae210b280220ed4e53 高中 解答题 自招竞赛 设锐角 $\triangle ABC$ 的三边长互不相等，$ O$ 为其外心，点 $A^\prime$ 在线段 $ AO $ 的延长线上，使得 $\angle B A^{\prime} A=\angle C A^{\prime} A$．过 $A^{\prime}$ 作 $A^{\prime} A_{1} \perp A C, A^{\prime} A_{2} \perp A B$，垂足分别为 $A_{1}, A_{2}$，作 $A H_{A} \perp B C$，垂足为 $H_{A}$．记 $\triangle H_{A} A_{1} A_{2}$ 的外接圆半径为 $R_A$，类似地可 $R_{B}, R_{C}$．求证：$\dfrac{1}{R_{A}}+\dfrac{1}{R_{B}}+\dfrac{1}{R_{C}}=\dfrac{2}{R}$
其中，$R$ 为 $ \triangle ABC$ 的外接圆半径．		 2022-04-17 19:31:10
15080 5d3fb366210b28021fc78f44 高中 解答题 自招竞赛 设 $ABCD$ 是面积为 $2$ 的长方形，$P$ 为边 $CD$ 上的一点，$Q$ 为 $\triangle PAB$ 的内切圆与边 $AB$ 的切点．乘积 $PA\cdot PB$ 的值随着长方形 $ABCD$ 及点 $P$ 的变化而变化，当 $PA\cdot PB$ 取最小值时．
（1）证明：$A B \geqslant 2 B C$；
（2）求 $AQ\cdot BQ$ 的值．		 2022-04-17 19:27:10
15074 5d3fee6e210b280220ed6dc6 高中 解答题 自招竞赛 在三角形 $ABC$ 中，$AB=33,AC=21,BC= m$，点 $D,E$ 分别在边 $AB,AC$ 上，使得 $AD=DE=EC=n$．若 $m,n$ 均为正整数，则 $m=$  ． 2022-04-17 19:23:10
15073 5d410b36210b280220ed6e5f 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，外接圆半径 $R=2$，$\sin A,\sin B,\sin C$ 成等比例数列．
（1）求角 $B$ 的取值范围；
（2）求 $S_{\triangle ABC}$ 最大值．		 2022-04-17 19:23:10
15050 5ef82ed1210b28017b0e2ad3 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle {ABC}$ 中，三个内角 $A,B,C$ 对应的边分别为 $a,b,c$，且 $A,B,C$ 成等差数列，$a,b,c$ 也成等差数列，求证：$\triangle {ABC}$ 为等边三角形。 2022-04-17 19:09:10
15041 5f000478210b28774f712eb6 高中 解答题 高中习题 已知 $\frac{1-\tan\theta}{2+\tan\theta}=1$，求证：$\tan2\theta=-4\tan\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right).$ 2022-04-17 19:03:10
15040 5f0005ca210b28774f712ebe 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\tan A,\tan B$ 是 $x$ 的方程 $x^2+p(x+1)+1=0$ 的两个实根，求 $\angle C.$ 2022-04-17 19:02:10
15039 5f0144d6210b28774f712f0a 高中 解答题 高中习题 已知 $\sin\frac{\alpha}{2}-\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{5}$，求 $\sin\alpha$ 的值； 2022-04-17 19:02:10
15035 5f264ec1210b2865a678861b 高中 解答题 自招竞赛 $\triangle ABC$ 中，$A=150^\circ$，$D_i$ $\left(i=1,2,\cdots,2020\right)$ 为选段 $BC$ 上的点，满足 $BD_1=D_1D_2=\cdots=D_{2019}D_{2020}=D_{2020}C$．设 $\angle BAD_1=\alpha_1$，$\angle D_1AD_2=\alpha_2$，$\cdots$，$D_{2019}AD_{2020}=\alpha_{2020}$，$\angle D_{2020}AC=\alpha_{2021}$．求 $\frac{\sin \alpha_1\sin \alpha_3\cdots\sin \alpha_{2021}}{\sin\alpha_2\sin\alpha_4\cdots\sin\alpha_{2020}}$ 的值． 2022-04-17 19:59:09
15018 60013484210b281da1784b47 高中 解答题 自招竞赛 证明：对于每一个实数 $x$，均有
$\cos^3\frac{x}{3}+\cos^3\frac{x+2\pi}{3}+\cos^3\frac{x+4\pi}{3}=\frac{3}{4}\cos x$．		 2022-04-17 19:50:09
11698 59082fe9060a050008e6222d 高中 填空题 高中习题 已知 $\triangle ABC$ 中，$AB$ 边上的高与 $AB$ 边的长相等，则 $\dfrac{AC}{BC}+\dfrac{BC}{AC}+\dfrac{AB^2}{BC\cdot AC}$ 的最大值是 $M$，则 $M^2=$  ． 2022-04-16 22:23:33
11683 590a99b96cddca00078f3885 高中 填空题 高中习题 已知对任意实数 $x$，$\sin kx\sin^kx+\cos kx\cos^kx=\cos^k2x$，则整数 $k$ 的值为 ． 2022-04-16 22:18:33
11678 590bdc936cddca0008611011 高中 填空题 高中习题 已知 $G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，且 $AG\perp BG$，$\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}=\dfrac{\lambda }{\tan C}$，则 $\frac{1}{\lambda}=$  ． 2022-04-16 22:15:33
11664 591128dee020e7000a7987d4 高中 填空题 自招竞赛 某编辑在校阅教材时，发现这句：“从 $60^\circ $ 角的顶点开始，在一边截取 $9$ 厘米的线段，在另一边截取 $a$ 厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中 $a$ 厘米在排版时比原稿上多 $1$．虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的 $a = $  ． 2022-04-16 22:05:33
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