设 $ABCD$ 是面积为 $2$ 的长方形，$P$ 为边 $CD$ 上的一点，$Q$ 为 $\triangle PAB$ 的内切圆与边 $AB$ 的切点．乘积 $PA\cdot PB$ 的值随着长方形 $ABCD$ 及点 $P$ 的变化而变化，当 $PA\cdot PB$ 取最小值时．
（1）证明：$A B \geqslant 2 B C$；
（2）求 $AQ\cdot BQ$ 的值．
（1）证明：$A B \geqslant 2 B C$；
（2）求 $AQ\cdot BQ$ 的值．
【难度】
【出处】
2001年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）由于 $S_{\triangle A P B}=\dfrac{1}{2} S_{矩形 A BCD}=1$，
从而 $\frac{1}{2} P A \cdot P B \sin \angle A P B=1$，即 $P A \cdot P B=\dfrac{2}{\sin \angle A P B} \geqslant 2$，等号仅当 $\angle A P B=90^{\circ}$ 时成立，这表明点 $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上，该圆应与 $CD$ 有公共点．
于是，$PA,PB$ 取最小值时，应有 $B C \leqslant \frac{A B}{2}$，即 $AB\geqslant 2BC$．
（2）设 $\triangle A P B$ 的内切圆半径为 $r$，则 $P A \cdot P B=(r+A Q)(r+B Q)=r(r+A Q+B Q)+A Q \cdot B Q$．而 $P A \cdot P B=2 S_{\triangle AP B}, r(r+A Q+B Q)=S_{\triangle A P B}$，于是 $A Q \cdot B Q=S_{\triangle AP B}=1$．
从而 $\frac{1}{2} P A \cdot P B \sin \angle A P B=1$，即 $P A \cdot P B=\dfrac{2}{\sin \angle A P B} \geqslant 2$，等号仅当 $\angle A P B=90^{\circ}$ 时成立，这表明点 $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上，该圆应与 $CD$ 有公共点．
于是，$PA,PB$ 取最小值时，应有 $B C \leqslant \frac{A B}{2}$，即 $AB\geqslant 2BC$．
（2）设 $\triangle A P B$ 的内切圆半径为 $r$，则 $P A \cdot P B=(r+A Q)(r+B Q)=r(r+A Q+B Q)+A Q \cdot B Q$．而 $P A \cdot P B=2 S_{\triangle AP B}, r(r+A Q+B Q)=S_{\triangle A P B}$，于是 $A Q \cdot B Q=S_{\triangle AP B}=1$．
答案
解析
备注
