已知 $\triangle ABC$ 中，$AB$ 边上的高与 $AB$ 边的长相等，则 $\dfrac{AC}{BC}+\dfrac{BC}{AC}+\dfrac{AB^2}{BC\cdot AC}$ 的最大值是 $M$，则 $M^2=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
记 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$，则$$\dfrac{AC}{BC}+\dfrac{BC}{AC}+\dfrac{AB^2}{BC\cdot AC}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab}.$$这个式子从形式上来说和余弦定理十分接近，考虑余弦定理$$a^2+b^2-c^2=2ab\cdot\cos C$$处理 $a^2+b^2$．
接下来的关键就是如何建立 $c^2$ 与 $ab$ 之间的关联，面积无疑是不二之选$$S_{\triangle ABC}=\dfrac 12c^2=\dfrac 12ab\cdot\sin C,$$于是有$$c^2=ab\cdot\sin C.$$从而可得$$a^2+b^2+c^2=ab\left(2\cos C+2\sin C\right),$$即原式的值为$$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab}=2(\sin C+\cos C),$$进而可得所求的最大值为 $2\sqrt 2$，等号当且仅当 $C=\dfrac{\mathrm \pi} 4$ 时取得．
接下来的关键就是如何建立 $c^2$ 与 $ab$ 之间的关联，面积无疑是不二之选$$S_{\triangle ABC}=\dfrac 12c^2=\dfrac 12ab\cdot\sin C,$$于是有$$c^2=ab\cdot\sin C.$$从而可得$$a^2+b^2+c^2=ab\left(2\cos C+2\sin C\right),$$即原式的值为$$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab}=2(\sin C+\cos C),$$进而可得所求的最大值为 $2\sqrt 2$，等号当且仅当 $C=\dfrac{\mathrm \pi} 4$ 时取得．
题目
答案
解析
备注
