在 $\triangle {ABC}$ 中，三个内角 $A,B,C$ 对应的边分别为 $a,b,c$，且 $A,B,C$ 成等差数列，$a,b,c$ 也成等差数列，求证：$\triangle {ABC}$ 为等边三角形。
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
证明：由 $A,B,C$ 成等差数列知，$B=\frac{\pi}{3}$，由余弦定理知 $b^2=a^2+c^2-ac$，
又 $a,b,c$ 也成等差数列，$\therefore b=\frac{a+c}{2}$，代入上式得 $\frac{(a+c)^2}{4}=a^2+c^2-ac$，
整理得 $3(a-c)^2=0$，$\therefore a=c$，从而 $A=C$，而 $B=\frac{\pi}{3}$，则 $A=B=C=\frac{\pi}{3}$，
所以 $\triangle {ABC}$ 为等边三角形
又 $a,b,c$ 也成等差数列，$\therefore b=\frac{a+c}{2}$，代入上式得 $\frac{(a+c)^2}{4}=a^2+c^2-ac$，
整理得 $3(a-c)^2=0$，$\therefore a=c$，从而 $A=C$，而 $B=\frac{\pi}{3}$，则 $A=B=C=\frac{\pi}{3}$，
所以 $\triangle {ABC}$ 为等边三角形
答案
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备注
