显然 $k\neq 0$．取 $x=\dfrac{\pi}k$，则有$$-\cos^k\dfrac{\pi}k=\cos^k\dfrac{2\pi}k,$$显然 $k$ 不是偶数（否则 $\cos\dfrac{\pi}k=\cos\dfrac{2\pi}k=0$，无解），于是 $k$ 为奇数且$$-\cos\dfrac{\pi}k=\cos\dfrac{2\pi}k=2\cos^2\dfrac{\pi}k-1,$$进而 $\cos\dfrac{\pi}k=-1$ 或 $\dfrac 12$，进而可得 $k=\pm 3$．（$k=1$ 舍去）
若 $k=3$，则\begin{eqnarray*}\begin{split} LHS&=\sin 3x\sin^3x+\cos 3x\cos^3x\\
&=\left(3\sin x-4\sin^3x\right)\sin^3x+\left(4\cos^3x-3\cos x\right)\cos^3x\\
&=4\cos^6x-3\cos^4x+3\sin^4x-4\sin^6x\\
&=4\cos^6x-3\cos^4x\left(\sin^2x+\cos^2x\right)+3\sin^4x\left(\sin^2x+\cos^2x\right)-4\sin^6x\\
&=\cos^6x-3\cos^4x\sin^2x+3\cos^2x\sin^4x-\sin^6x\\
&=\left(\cos^2x-\sin^2x\right)^3=RHS,\end{split} \end{eqnarray*}符合题意．
若 $k=-3$，则令 $x=\dfrac{\pi}4$，则显然 $LHS\neq 0=RHS$，不符合题意．
综上所述，整数 $k$ 的值为 $3$．