在 $\triangle ABC$ 中，外接圆半径 $R=2$，$\sin A,\sin B,\sin C$ 成等比例数列．
（1）求角 $B$ 的取值范围；
（2）求 $S_{\triangle ABC}$ 最大值．
（1）求角 $B$ 的取值范围；
（2）求 $S_{\triangle ABC}$ 最大值．
【难度】
【出处】
2019清华暑校
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）由题意得到 $a,b,c$ 为等比数列，可设公比为 $q$，由对称性不妨设 $q\ge1$．$a+b>c$ 解得 $1\leqslant q< \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$
$\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{q^4-q^2+1}{2q^2}=\dfrac{1}{2}\left(q^2+\dfrac{1}{q^2}-1\right)\in\left[\dfrac{1}{2},1
\right)$，故 $\dfrac{\pi}{3}\geqslant B>0$．
（2）$S=2R^2\sin A\sin B\sin C=8\left(\sin B\right)^3\le3\sqrt{3}$．等号成立条件为三角形为等边三角形．
$\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{q^4-q^2+1}{2q^2}=\dfrac{1}{2}\left(q^2+\dfrac{1}{q^2}-1\right)\in\left[\dfrac{1}{2},1
\right)$，故 $\dfrac{\pi}{3}\geqslant B>0$．
（2）$S=2R^2\sin A\sin B\sin C=8\left(\sin B\right)^3\le3\sqrt{3}$．等号成立条件为三角形为等边三角形．
答案
解析
备注
