证明：对于每一个实数 $x$，均有
$\cos^3\frac{x}{3}+\cos^3\frac{x+2\pi}{3}+\cos^3\frac{x+4\pi}{3}=\frac{3}{4}\cos x$．
$\cos^3\frac{x}{3}+\cos^3\frac{x+2\pi}{3}+\cos^3\frac{x+4\pi}{3}=\frac{3}{4}\cos x$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
注意到，$$\cos t =4\cos^3\frac{t}{3}-3\cos \frac{t}{3}.$$分别取 $t=x,t =x+2\pi, t=x+4\pi$ 代入上式并结合余弦函数的周期性得$$3\cos x=4(\cos^3\frac{x}{3}+\cos^3\frac{x+2\pi}{3}+\cos^3\frac{x+4\pi}{3})-3(\cos\frac{x}{3}+cos\frac{x+2\pi}{3}+\cos\frac{x+4\pi}{3}),$$于是，$$\begin{aligned}\cos\frac{x}{3}+\cos\frac{x+2\pi}{3}+\cos\frac{x+4\pi}{3}&=2\cos\frac{2\pi}{3}\cdot \cos\frac{x+2\pi}{3}+\cos\frac{x+2\pi}{3}\\&=(2\cos\frac{2\pi +1}{3})\cos\frac{x+2\pi}{3}=0\end{aligned}$$由此我们得到，$$\cos^3\frac{x}{3}+\cos^3\frac{x+2\pi }{3}+\cos^3\frac{x+4\pi }{3}=\frac{3}{4}\cos x.$$
答案
解析
备注
