设 $\theta_{i} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), i=1,2,3,4$．证明：存在 $x \in \mathbf{R}$，使得如下两个不等式
$\cos ^{2} \theta_{1} \cos ^{2} \theta_{2}-\left(\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}-x\right)^{2} \geqslant 0$ ①
$\cos ^{2} \theta_{3} \cos ^{2} \theta_{4}-\left(\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}-x\right)^{2} \geqslant 0$ ②
同时成立的充要条件是
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{4} \sin ^{2} \theta_{i} \leqslant 2\left(1+\prod_{i=1}^{4} \sin \theta_{i}+\prod_{i=1}^{4} \cos \theta_{i}\right)$ ③
$\cos ^{2} \theta_{1} \cos ^{2} \theta_{2}-\left(\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}-x\right)^{2} \geqslant 0$ ①
$\cos ^{2} \theta_{3} \cos ^{2} \theta_{4}-\left(\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}-x\right)^{2} \geqslant 0$ ②
同时成立的充要条件是
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{4} \sin ^{2} \theta_{i} \leqslant 2\left(1+\prod_{i=1}^{4} \sin \theta_{i}+\prod_{i=1}^{4} \cos \theta_{i}\right)$ ③
【难度】
【出处】
2005第20届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
显然，① 和 ② 分别等价于
$\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}-\cos \theta_{1} \cos \theta_{2} \leqslant x \leqslant \sin \theta_{1} \sin \theta_{2}+\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}$ ④
$\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}-\cos \theta_{3} \cos \theta_{4} \leqslant x \leqslant \sin \theta_{3} \sin \theta_{4}+\cos \theta_{3} \cos \theta_{4}$ ⑤
不难知道，存在 $x\in R$，使得 ④ 和 ⑤ 同时成立的充分必要条件是
$\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}+\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}-\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}+\cos \theta_{3} \cos \theta_{4} \geqslant 0$ ⑥
$\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}+\cos \theta_{3} \cos \theta_{4}-\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}+\cos \theta_{1} \cos \theta_{2} \geqslant 0$ ⑦
另一方面，利用 $\sin ^{2} \alpha=1-\cos ^{2} \alpha$，可将式 ③ 化为
$\cos ^{2} \theta_{1} \cos ^{2} \theta_{2}+2 \cos \theta_{1} \cos \theta_{2} \cos \theta_{3} \cos \theta_{4}+\cos ^{2} \theta_{3} \cos ^{2} \theta_{4}- \sin ^{2} \theta_{1} \sin ^{2} \theta_{2}+2 \sin \theta_{1} \sin \theta_{2} \sin \theta_{3} \sin \theta_{4}-\sin ^{2} \theta_{3} \sin ^{2} \theta_{4} \geqslant 0$
即 $\left(\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}+\cos \theta_{3} \cos \theta_{4}\right)^{2}-\left(\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}-\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}\right)^{2} \geqslant 0$
亦即 $\left(\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}+\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}-\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}+\cos \theta_{3} \cos \theta_{4}\right)\cdot\left(\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}+\cos \theta_{3} \cos \theta_{4}-\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}+\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}\right) \geqslant 0 ⑧ $
当存在 $x\in R$，使得 ④ 和 ⑤ 同时成立时，由 ⑥ 和 ⑦ 立即可以推出 ⑧，从而有式 ③ 成立．
反之，当式 ③，亦即式 ⑧ 成立时，如果 ⑥ 和 ⑦ 不成立，那么就有
$\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}+\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}-\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}+\cos \theta_{3} \cos \theta_{4}<0\\\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}+\cos \theta_{3} \cos \theta_{4}-\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}+\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}<0$
两式相加，得 $2\left(\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}+\cos \theta_{3} \cos \theta_{4}\right)<0$
此与 $\theta_{i} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), i=1,2,3,4$ 的事实相矛盾，所以必有 ⑥ 和 ⑦ 同时成立，因此存在 $x\in R$ 使得 ④ 和 ⑤ 同时成立．
$\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}-\cos \theta_{1} \cos \theta_{2} \leqslant x \leqslant \sin \theta_{1} \sin \theta_{2}+\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}$ ④
$\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}-\cos \theta_{3} \cos \theta_{4} \leqslant x \leqslant \sin \theta_{3} \sin \theta_{4}+\cos \theta_{3} \cos \theta_{4}$ ⑤
不难知道，存在 $x\in R$，使得 ④ 和 ⑤ 同时成立的充分必要条件是
$\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}+\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}-\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}+\cos \theta_{3} \cos \theta_{4} \geqslant 0$ ⑥
$\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}+\cos \theta_{3} \cos \theta_{4}-\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}+\cos \theta_{1} \cos \theta_{2} \geqslant 0$ ⑦
另一方面，利用 $\sin ^{2} \alpha=1-\cos ^{2} \alpha$，可将式 ③ 化为
$\cos ^{2} \theta_{1} \cos ^{2} \theta_{2}+2 \cos \theta_{1} \cos \theta_{2} \cos \theta_{3} \cos \theta_{4}+\cos ^{2} \theta_{3} \cos ^{2} \theta_{4}- \sin ^{2} \theta_{1} \sin ^{2} \theta_{2}+2 \sin \theta_{1} \sin \theta_{2} \sin \theta_{3} \sin \theta_{4}-\sin ^{2} \theta_{3} \sin ^{2} \theta_{4} \geqslant 0$
即 $\left(\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}+\cos \theta_{3} \cos \theta_{4}\right)^{2}-\left(\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}-\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}\right)^{2} \geqslant 0$
亦即 $\left(\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}+\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}-\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}+\cos \theta_{3} \cos \theta_{4}\right)\cdot\left(\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}+\cos \theta_{3} \cos \theta_{4}-\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}+\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}\right) \geqslant 0 ⑧ $
当存在 $x\in R$，使得 ④ 和 ⑤ 同时成立时，由 ⑥ 和 ⑦ 立即可以推出 ⑧，从而有式 ③ 成立．
反之，当式 ③，亦即式 ⑧ 成立时，如果 ⑥ 和 ⑦ 不成立，那么就有
$\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}+\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}-\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}+\cos \theta_{3} \cos \theta_{4}<0\\\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}+\cos \theta_{3} \cos \theta_{4}-\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}+\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}<0$
两式相加，得 $2\left(\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}+\cos \theta_{3} \cos \theta_{4}\right)<0$
此与 $\theta_{i} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), i=1,2,3,4$ 的事实相矛盾，所以必有 ⑥ 和 ⑦ 同时成立，因此存在 $x\in R$ 使得 ④ 和 ⑤ 同时成立．
答案
解析
备注
