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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
16058 60179f6625bdad0009f73f19 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系 $xOy$ 的横轴上取两个定点 $A_1(a,0),A_2(-a,0)$，在纵轴上取两个动点 $N_1(0,b_1),N_2(0,b_2)$，满足 $b_1b_2=b^2, a>b>0$（$a,b$ 为常数），直线 $A_1N_1$ 与 $A_2N_2$ 交于点 $M$． 2022-04-17 19:21:19
16005 602f5b6625bdad000ac4d5d1 高中 解答题 高中习题 过直线 $x-2y+13=0$ 上一动点 $A$（$A$ 不在 $y$ 轴上）作抛物线 $y^2=8x$ 的两条切线，切点分别为 $M,N$．直线 $AM, AN$ 分别与 $y$ 轴交于点 $B,C$．证明： 2022-04-17 19:53:18
15906 603df37525bdad0009f741c1 高中 解答题 自招竞赛 已知 $A,B$ 为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的长轴端点，$P$ 为椭圆上异于 $A,B$ 的点，过点 $A,B$ 分别作 $l_1\perp PA, l_2\perp PB$．当点 $P$ 在椭圆上移动时，求 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点的轨迹方程． 2022-04-17 19:56:17
15894 603f4bfd25bdad000ac4d871 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $C: \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ 的右焦点为 $F$，点 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$ 是椭圆 $C$ 上的两点，且满足 $x_1+x_2=1, x_1\neq x_2$．证明：若 $FA\perp FB$，则以 $AB$ 为直径的圆恒过一个异于 $F$ 的定点． 2022-04-17 19:50:17
15845 5a40a9a2fab7080008a76b15 高中 解答题 自招竞赛 已知动圆 $P$ 在圆 $E:(x+1)^2+y^2=\dfrac 14$ 外部且与圆 $E$ 相切，同时还在圆 $F:(x-1)^2+y^2=\dfrac{49}4$ 的内部且与圆 $F$ 相切． 2022-04-17 19:25:17
15777 61e65cdfea59ab000b0ec3d9 高中 解答题 高中习题 在正三棱锥 $P-ABC$ 中，$M$ 为 $\triangle{ABC}$（含边界）一动点，且点 $M$ 到三个侧面 $PAB,PBC,PCA$ 的距离成等差数列，求点 $M$ 的轨迹． 2022-04-17 19:51:16
15701 590ad3696cddca00092f7037 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $L:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，$F_1,F_2$ 分别为椭圆 $L$ 的左右焦点，点 $\left(1,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$ 在椭圆 上，设 $A$ 为椭圆 $L$ 上一个动点，弦 $AB,AC$ 分别过焦点 $F_1,F_2$，且 $\overrightarrow{AF_1}=\lambda_1\overrightarrow{F_1B}$，$\overrightarrow{AF_2}=\lambda_2\overrightarrow{F_2C}$． 2022-04-17 19:09:16
15690 590bd93a6cddca00078f3a99 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），过椭圆上一点 $M$ 作圆 ${x^2} + {y^2} = {b^2}$ 的两条切线，切点分别为 $P$、$Q$，直线 $PQ$ 与坐标轴的交点分别为 $E$、$F$，求 $\triangle EOF$ 面积的最小值． 2022-04-17 19:02:16
15687 590be0d96cddca00092f7157 高中 解答题 自招竞赛 已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的两条渐近线的斜率之积为 $-3$，左右两支分别有动点 $A$ 和 $B$． 2022-04-17 19:01:16
15650 59112c5be020e7000878f554 高中 解答题 自招竞赛 已知抛物线族 $2y = {x^2} - 6x\cos t - 9{\sin ^2}t + 8\sin t + 9$，其中参数 $t \in {\mathbb{R}}$． 2022-04-17 19:39:15
15638 59126e6be020e70007fbec3a 高中 解答题 自招竞赛 如图，过抛物线 $C:{y^2} = 8x$ 上一点 $P\left( {2, 4} \right)$ 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于 $A,B$ 两点． 2022-04-17 19:32:15
15625 59127b36e020e70007fbed0c 高中 解答题 自招竞赛 在四分之一个椭圆 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$（$x > 0,y > 0$）上取一点 $P$，使过 $P$ 点椭圆的切线与坐标轴所围成的三角形的面积最小，求点 $P$ 的坐标以及所围成的三角形最小面积． 2022-04-17 19:25:15
15600 5912b9d9e020e7000a798c81 高中 解答题 自招竞赛 椭圆 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + {y^2} = 1 (a > 1)$，一顶点 $A\left( {0 , 1} \right)$，是否存在这样的以 $A$ 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，若存在，求出共有几个，若不存在，请说明理由． 2022-04-17 19:09:15
15574 59549accd3b4f90007b6fb60 高中 解答题 高中习题 已知直线 $l:x=t$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）相交于 $A,B$ 两点，$M$ 是椭圆 $C$ 上一点，设直线 $MA,MB$ 分别与 $x$ 轴交于 $E,F$ 两点，$O$ 为坐标原点，求证：$|OE|\cdot |OF|$ 为定值． 2022-04-17 19:53:14
15556 59607fa23cafba000ac43ca6 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\left| PM \right|-\left| PN \right|=2\sqrt{2}$，$M\left( -2,0 \right)$，$N\left( 2,0 \right)$． 2022-04-17 19:44:14
15554 5962e9a63cafba0009670c9b 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知 $A,B$ 是圆 $x^2+y^2=4$ 与 $x$ 轴的两个交点，$P$ 为直线 $l:x=4$ 上的动点．$PA,PB$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 的另一个交点分别为 $M,N$．求证：直线 $MN$ 过定点． 2022-04-17 19:44:14
15514 596491fe22a5da0007aed4a5 高中 解答题 自招竞赛 在一有直角坐标系的纸片中，画出以点 $A(-1,0)$ 为圆心，半径为 $2\sqrt 2$ 的圆，定点 $B(1,0)$．折叠纸片使圆周上某一点 $P$ 恰好与点 $B$ 重合，连结 $AP$ 与折痕交于点 $C$．反复这样折叠得到动点 $C$ 的集合． 2022-04-17 19:19:14
15451 59706671dbbeff0009d29eee 高中 解答题 自招竞赛 过椭圆 $C$：$\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 上任一点 $P$，作椭圆 $C$ 右准线的垂线 $PH$（$H$ 为垂足），延长 $PH$ 到点 $Q$，使 $|HQ|=\lambda|PH|$ $\left(\dfrac 23 \leqslant \lambda \leqslant 1\right)$．当点 $P$ 在椭圆 $C$ 上运动时，点 $Q$ 的轨迹的离心率取值范围为 $\left[\dfrac{\sqrt 3}{3},1\right)$，求点 $Q$ 的轨迹方程． 2022-04-17 19:47:13
15384 59882b8a5ed01a000ba75c35 高中 解答题 自招竞赛 （12分）已知 $F_{1}(-1,0)$、$F_{2}(1,0)$，圆 $F_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=1$，一动圆在 $y$ 轴右侧与 $y$ 轴相切，同时与圆 $F_{2}$ 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线 $C$，曲线 $E$ 是以 $F_{1}$、$F_{2}$ 为焦点的椭圆． 2022-04-17 19:10:13
15115 5cdbc1d1210b28021fc7628b 高中 解答题 自招竞赛 已知抛物线 $C_1$ 的顶点 $(\sqrt{2}-1,1)$，焦点 $(\sqrt{2}-\dfrac{3}{4},1)$，另一抛物线 $C_2$ 的方程为 $y^2-ay+x+2b=0$，$C_1$ 与 $C_2$ 在一个交点处它们的切线互相垂直．试证 $C_2$ 必过定点，并求该点的坐标． 2022-04-17 19:42:10
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