过椭圆 $C$：$\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 上任一点 $P$，作椭圆 $C$ 右准线的垂线 $PH$（$H$ 为垂足），延长 $PH$ 到点 $Q$，使 $|HQ|=\lambda|PH|$ $\left(\dfrac 23 \leqslant \lambda \leqslant 1\right)$．当点 $P$ 在椭圆 $C$ 上运动时，点 $Q$ 的轨迹的离心率取值范围为 $\left[\dfrac{\sqrt 3}{3},1\right)$，求点 $Q$ 的轨迹方程．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{(x-6)^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 或 $\dfrac{(x-5)^2}{\dfrac 43}+\dfrac{y^2}{2}=1$
【解析】
设 $P(x_1,y_1)$，$Q(x,y)$．
因为右准线方程为 $x=3$，故 $H$ 点的坐标为 $(3,y)$．
又 $HQ=\lambda PH$，从而$$\dfrac{HP}{PQ}=\dfrac{-1}{1+\lambda},$$由定比分点坐标公式，可得$$\begin{cases}x_1=\dfrac{3(1+\lambda)-x}{\lambda},\\ y_1=y,\end{cases}$$代入椭圆方程，得 $Q$ 点的轨迹为$$\dfrac{[x-3(1+\lambda)]^2}{3\lambda^2}+\dfrac{y^2}{2}=1.$$情形一 椭圆长轴平行于 $x$ 轴．
由离心率$$e=\dfrac{\sqrt{3\lambda^2-2}}{\sqrt 3 \lambda}=\sqrt{1-\dfrac{2}{3\lambda^2}}\in \left[\dfrac{\sqrt 3}{3},1\right),$$及 $\lambda \leqslant 1$，解得 $\lambda =1$，代入方程$$\dfrac{[x-3(1+\lambda)]^2}{3\lambda^2}+\dfrac{y^2}{2}=1,$$得 $Q$ 点轨迹方程为$$\dfrac{(x-6)^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1.$$情形二 椭圆长轴平行于 $y$ 轴．
由离心率$$e=\dfrac{\sqrt{2-3\lambda^2}}{\sqrt 2}=\sqrt{1-\dfrac{3}{2}\lambda^2}\in \left[\dfrac{\sqrt 3}{3},1\right),$$及 $\lambda \geqslant \dfrac 23$，解得 $\lambda =\dfrac 23$，于是 $Q$ 点的轨迹为$$\dfrac{(x-5)^2}{\dfrac 43}+\dfrac{y^2}{2}=1.$$综上所述，$Q$ 点的轨迹方程为 $\dfrac{(x-6)^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 或 $\dfrac{(x-5)^2}{\dfrac 43}+\dfrac{y^2}{2}=1$．
因为右准线方程为 $x=3$，故 $H$ 点的坐标为 $(3,y)$．
又 $HQ=\lambda PH$，从而$$\dfrac{HP}{PQ}=\dfrac{-1}{1+\lambda},$$由定比分点坐标公式，可得$$\begin{cases}x_1=\dfrac{3(1+\lambda)-x}{\lambda},\\ y_1=y,\end{cases}$$代入椭圆方程，得 $Q$ 点的轨迹为$$\dfrac{[x-3(1+\lambda)]^2}{3\lambda^2}+\dfrac{y^2}{2}=1.$$
由离心率$$e=\dfrac{\sqrt{3\lambda^2-2}}{\sqrt 3 \lambda}=\sqrt{1-\dfrac{2}{3\lambda^2}}\in \left[\dfrac{\sqrt 3}{3},1\right),$$及 $\lambda \leqslant 1$，解得 $\lambda =1$，代入方程$$\dfrac{[x-3(1+\lambda)]^2}{3\lambda^2}+\dfrac{y^2}{2}=1,$$得 $Q$ 点轨迹方程为$$\dfrac{(x-6)^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1.$$
由离心率$$e=\dfrac{\sqrt{2-3\lambda^2}}{\sqrt 2}=\sqrt{1-\dfrac{3}{2}\lambda^2}\in \left[\dfrac{\sqrt 3}{3},1\right),$$及 $\lambda \geqslant \dfrac 23$，解得 $\lambda =\dfrac 23$，于是 $Q$ 点的轨迹为$$\dfrac{(x-5)^2}{\dfrac 43}+\dfrac{y^2}{2}=1.$$综上所述，$Q$ 点的轨迹方程为 $\dfrac{(x-6)^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 或 $\dfrac{(x-5)^2}{\dfrac 43}+\dfrac{y^2}{2}=1$．
答案
解析
备注
