在一有直角坐标系的纸片中，画出以点 $A(-1,0)$ 为圆心，半径为 $2\sqrt 2$ 的圆，定点 $B(1,0)$．折叠纸片使圆周上某一点 $P$ 恰好与点 $B$ 重合，连结 $AP$ 与折痕交于点 $C$．反复这样折叠得到动点 $C$ 的集合．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
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求动点 $C$ 的集合对应的曲线 $E$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$解析点 $B$ 与 $P$ 关于折痕所在直线 $l$ 对称，所以$$CA+CB=CA+CP=AP=2\sqrt 2,$$故 $C$ 点的集合对应的曲线是以 $A,B$ 为焦点，长轴长为 $2\sqrt 2$ 的椭圆．
因此 $C$ 点的集合对应的曲线 $E$ 的方程为$$\dfrac{x^2}{2}+y^2=1.$$ -
若 $S,T,M,N$ 四点都在曲线 $E$ 上，且 $\overrightarrow{SB}$ 与 $\overrightarrow{BT}$ 共线，$\overrightarrow{MB}$ 与 $\overrightarrow{BN}$ 共线，且 $\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow {MB}=0$，求四边形 $SMTN$ 面积的最小值和最大值．标注答案最大值为 $2$，最小值为 $\dfrac{16}{9}$解析设 $ST$ 与 $x$ 轴的夹角为 $\theta$，则 $MN$ 与 $x$ 轴的夹角为 $\dfrac{\pi}{2}-\theta$，则$$|ST|=\dfrac{2\sqrt 2}{1+\sin ^2 \theta} , |MN|=\dfrac{2\sqrt 2}{1+\cos ^2\theta}.$$因此$$S_{SMTN}=\dfrac 12 |ST|\cdot |MN|=\dfrac 4{2+\dfrac 14 (\sin{2\theta})^2}.$$因为 $0\leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi}{2}$，$0\leqslant \sin{2\theta}\leqslant 1$，所以$$\dfrac{16}{9}\leqslant S_{SMNT}\leqslant 2,$$故 $S_{SMTN}$ 有最大值 $2$，最小值 $\dfrac{16}{9}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
