题目 （12分）已知 $F_{1}(-1,0)$、$F_{2}(1,0)$，圆 $F_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=1$，一动圆在 $y$ 轴右侧与 $y$ 轴相切，同时与圆 $F_{2}$ 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线 $C$，曲线 $E$ 是以 $F_{1}$、$F_{2}$ 为焦点的椭圆． 问题1 求曲线 $C$ 的方程； 答案1 $y^{2}=4x(x>0)$ 解析1 设动圆圆心的坐标为 $(x,y)(x>0)$．<br/>因为动圆在 $y$ 轴右侧与 $y$ 轴相切，同时与圆 $F_{2}$ 相外切，所以 $|CF_{2}|-x=1$，所以\[\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=x+1,\]化简整理得 $y^{2}=4x$，曲线 $C$ 的方程为 $y^{2}=4x(x>0)$． 备注1 问题2 设曲线 $C$ 与曲线 $E$ 相交于第一象限点 $P$，且 $|PF_{1}|=\dfrac{7}{3}$，求曲线 $E$ 的标准方程； 答案2 $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ 解析2 依题意，$c=1$，$|PF_{1}|=\dfrac{7}{3}$，可得 $x_{p}=\dfrac{2}{3}$，所以 $|PF_{2}|=\dfrac{5}{3}$，又由椭圆定义得\[2a=|PF_{1}|+|PF_{2}|=\dfrac{7}{3}+\dfrac{5}{3}=4,a=2.\]所以 $b^{2}=a^{2}-c^{2}=3$，所以曲线 $E$ 的标准方程为 $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$． 备注2 问题3 在 $(1)$、$(2)$ 的条件下，直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $A,B$ 两点，若 $AB$ 的中点 $M$ 在曲线 $C$ 上，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围． 答案3 $\left(-\dfrac{\sqrt 6}{8},0\right)\cup \left(0,\dfrac{\sqrt 6}{8}\right)$ 解析3 设直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交点 $A(x_{1},y_{1})$、$B(x_{2},y_{2})$，$A,B$ 的中点 $M$ 的坐标为 $(x_{0},y_{0})$．<br/>设直线 $l$ 方程为 $y=kx+m(k\ne 0,m\ne 0)$，与 $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ 联立得\[(3+4k^{2})x^{2}+8kmx+4m^{2}-12=0.\]由 $\Delta >0$ 得\[4k^{2}-m^{2}+3>0\cdots\cdots \text{ ① }\]由根与系数关系得 $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{8km}{3+4k^{2}}$，所以 $x_{0}=-\dfrac{4km}{3+4k^{2}}$，$y_{0}=\dfrac{3m}{3+4k^{2}}$．<br/>将 $M\left(-\dfrac{4km}{3+4k^{2}},\dfrac{3m}{3+4k^{2}}\right)$ 代入 $y^{2}=4x$，整理得\[m=\dfrac{16k(3+4k^{2})}{9}\cdots\cdots\text{ ② }\]将 ② 代入 ① 得 $16k^{2}(3+4k^{2})<81$．<br/>令 $t=4k^{2}(t>0)$ 则 $64t^{2}+192t-81<0$，所以 $0<t<\dfrac{3}{8}$．所以 $-\dfrac{\sqrt 6}{8}<k<\dfrac{\sqrt 6}{8}$ 且 $k\ne 0$． 备注3