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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
11671 590c2141857b4200092b0637 高中 填空题 高中习题 已知点 $P$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{8}=1$ 上的一个动点，$F_1,F_2,O$ 分别为椭圆的左焦点、右焦点和中心，过 $F_1$ 作 $\angle F_1PF_2$ 的角平分线的垂线，垂足为 $M$，则 $|OM|^2$ 的最大值为 ． 2022-04-16 22:10:33
11655 59631cca3cafba0007613125 高中 填空题 自招竞赛 设 $A,B$ 分别为椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 和双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的公共顶点，$P,M$ 分别是双曲线和椭圆上不同于 $A,B$ 的两动点，且满足 $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}=\lambda(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM})(\lambda \in {\mathbb R},|\lambda |>1)$．设直线 $AP,BP,AM,BM$ 的斜率分别为 $k_1,k_2,k_3,k_4$，且 $k_1+k_2=5$，则 $k_3+k_4=$  ． 2022-04-16 22:01:33
11631 59647c4822a5da000986415c 高中 填空题 自招竞赛 已知点 $P$ 在直线 $l:kx+y+4=0$（$k>0$）上一动点，$PA,PB$ 是圆 $C:x^2+y^2-2y=0$ 的两条切线，$A,B$ 是切点，若四边形 $PACB$ 的最小面积是 $2$，则 $k=$  ． 2022-04-16 22:49:32
11576 597fd748d05b90000c805a4e 高中 填空题 自招竞赛 抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$，$A,B$ 是抛物线上的两个动点，且满足 $\angle AFB=\dfrac{\pi}{3}$．设线段 $AB$ 的中点 $M$ 在 $l$ 上的投影为 $N$，则 $\dfrac{|MN|}{|AB|}$ 的最大值是  ． 2022-04-16 22:20:32
11496 5cb53eee210b28021fc755f3 高中 填空题 自招竞赛 在平面直角坐标系中，若与点 $A(2,2)$ 的距离为 $1$，且与点 $B(m,0)$ 的距离为 $3$ 的直线恰有三条，则所有满足要求的 $m$ 值之和为 ． 2022-04-16 22:39:31
11485 5cb7dd1b210b280220ed2065 高中 填空题 自招竞赛 若双曲线 $L_{1}$ 的两个焦点分别是椭圆 $L_{2}:\dfrac{x^2}{5^2}+\dfrac{y^2}{4^2}=1$ 的两个顶点，而双曲线 $L_{1}$ 的两条准线分别通过椭圆 $L_{2}$ 的两个焦点，则双曲线 $L_1$ 的方程是 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，则 $a^2+b^2=$  ． 2022-04-16 22:31:31
11481 5cb83583210b280220ed2125 高中 填空题 自招竞赛 已知 $A,B$ 分别为 $C_{1}:x^2-y+1=0$ 和 $C_{2}:y^2-x+1=0$ 上的点，$|AB|$ 的最小值为 $\frac{b\sqrt{c}}{a}$，其中 $a,b,c$ 是正整数且 $a,b$ 互质．则 $a+b+c=$  ． 2022-04-16 22:29:31
11479 5cb98cfd210b28021fc75939 高中 填空题 自招竞赛 已知圆 $C$ 的方程为 $x^2+y^2-8x+15=0$．若直线 $y=kx-2(k\in\mathbf R)$ 上至少存在一点，使得以该点为圆心，$1$ 为半径的圆与圆 $C$ 有公共点，则 $6k$ 的最大值等于 ． 2022-04-16 22:28:31
11477 5cb98eed210b280220ed2246 高中 填空题 自招竞赛 已知点 $P$ 在直线 $x+2y-1=0$ 上，点 $Q$ 在直线 $x+2y+3=0$ 上，$PQ$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$，且 $y_0>x_0+2$，$\dfrac{y_0}{x_0}$ 的取值范围是 $(m,M)$，则 $\frac{1}{mM}=$  ． 2022-04-16 22:27:31
11468 5cbedbc8210b280220ed2402 高中 填空题 自招竞赛 已知 $F_1,F_2$ 分别为双曲线 $C:\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 上，$G,I$ 分别为 $\triangle F_1PF_2$ 的重心，内心．若 $GI\parallel x$ 轴，则 $\triangle F_1PF_2$ 的外接圆半径 $R=$  ． 2022-04-16 22:22:31
11446 5cce468e210b280220ed27e1 高中 填空题 自招竞赛 如图，已知抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$，过点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A,B$ 两点，且 $|AB|=3p$．设点 $A,B$ 在 $l$ 上的射影分别为 $A^\prime,B^\prime$，今向四边形 $AA^\prime B^\prime B$ 内任投一点 $M$，点 $M$ 落在 $\triangle FA^\prime B^\prime$ 内的概率是 $\frac{p}{q}$，其中 $p,q$ 是互质的正整数，则 $p+q=$  ． 2022-04-16 22:09:31
11312 59097eb439f91d0009d4c01c 高中 填空题 高中习题 已知直线 $y=k(x+2)$（$k>0$）与抛物线 $C:y^2=8x$ 相交于 $A,B$ 两点，$F$ 为 $C$ 的焦点．若 $FA=2FB$，有 $k^2=\frac{a}{b}$，其中 $a,b$ 是互质的正整数，则 $a+b=$  ． 2022-04-16 22:55:29
11311 599165c92bfec200011e1868 高中 填空题 高考真题 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$F$ 是椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点，直线 $y=\dfrac {b}{2}$ 与椭圆交于 $B$，$C$ 两点，且 $\angle {BFC}=90^{\circ}$，则椭圆的离心率是 ． 2022-04-16 22:55:29
11310 599165c22bfec200011e0308 高中 填空题 高考真题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，以点 $\left(1,0\right)$ 为圆心且与直线 $mx-y-2m-1=0$（$m\in{\mathbb{R}}$）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ． 2022-04-16 22:55:29
11309 599165c52bfec200011e0e43 高中 填空题 高考真题 设 ${F_1},{F_2}$ 是双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a > 0,b > 0\right)$ 的两个焦点，$ P $ 是 $ C $ 上一点，若 ${\left| {PF_1} \right| } + \left| {P{F_2}} \right| = 6a $，且 $\triangle P{F_1}{F_2}$ 的最小内角为 ${30^ \circ }$，则 $ C $ 的离心率为 ． 2022-04-16 22:54:29
11308 590aa7c76cddca0008610dfa 高中 填空题 高中习题 已知集合 $A=\{(x,y)\mid x=n,y=na+b,n\in\mathbb Z\}$，$B=\{(x,y)\mid x=m,y=3m^2+12,m\in\mathbb Z\}$．若存在实数 $a,b$ 使得 $A\cap B\ne \varnothing$ 成立，则称 $(a,b)$ 为好点，则好点在平面区域 $C=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leqslant 108\}$ 内的个数是 ． 2022-04-16 22:54:29
11307 599fdd04302017000955298f 高中 填空题 自招竞赛 已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}3+\dfrac{y^2}2=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_2$ 作直线 $l_1$ 与椭圆交于 $A,C$ 两点，直线 $l_1$ 斜率为 $1$，过 $F_1$ 作直线 $l_2$ 与椭圆交于 $B,D$ 两点，且 $AC\perp BD$，则四边形 $ABCD$ 的面积是 ． 2022-04-16 22:53:29
11306 593664f1c2b4e70007c94068 高中 填空题 高中习题 点 $P$ 到点 $A\left(\dfrac 12,0\right),B(a,2)$ 及到直线 $x=-\dfrac 12$ 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么 $a$ 的值是 ． 2022-04-16 22:53:29
11305 5cc2bd4e210b280220ed260e 高中 填空题 自招竞赛 设经过定点 $M(a,0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $y^2=4x$ 相交于 $P,Q$ 两点，若 $\dfrac{1}{|PM|^2}+\dfrac{1}{|QM|^2}$ 为常数，则 $a$ 的值为 ． 2022-04-16 22:52:29
11304 5962e8f03cafba000ac43dd3 高中 填空题 自招竞赛 已知 $O$ 为坐标原点，$B(4,0)$，$C(5,0)$，过 $C$ 作 $x$ 轴的垂线，$M$ 是这垂线上的动点，以 $O$ 为圆心，$OB$ 为半径作圆，$MT_1,MT_2$ 是圆的切线，则 $\triangle{MT_1T_2}$ 垂心的轨迹方程是 ． 2022-04-16 22:51:29
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