已知集合 $A=\{(x,y)\mid x=n,y=na+b,n\in\mathbb Z\}$，$B=\{(x,y)\mid x=m,y=3m^2+12,m\in\mathbb Z\}$．若存在实数 $a,b$ 使得 $A\cap B\ne \varnothing$ 成立，则称 $(a,b)$ 为好点，则好点在平面区域 $C=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leqslant 108\}$ 内的个数是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
$(a,b)$ 为使得 $ax+b=3x^2+12$ 有整数解 $x$ 的点，即直线 $kx+y-3k^2-12=0$ 上的点，其中 $k\in\mathbb Z$．由于原点到该直线的距离为$$\dfrac{3k^2+12}{\sqrt{k^2+1}}=3\left(\sqrt{k^2+1}+\dfrac{3}{\sqrt{k^2+1}}\right)\geqslant 6\sqrt 3=\sqrt{108},$$且等号无法取得，于是直线 $kx+y-3k^2-12=0$ 与平面区域 $C$ 无公共点，所求的好点的个数为 $0$．
题目
答案
解析
备注
