已知直线 $y=k(x+2)$（$k>0$）与抛物线 $C:y^2=8x$ 相交于 $A,B$ 两点，$F$ 为 $C$ 的焦点．若 $FA=2FB$，有 $k^2=\frac{a}{b}$，其中 $a,b$ 是互质的正整数，则 $a+b=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$17$
【解析】
设 $M(-2,0)$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则根据题意由 $FA=2FB$ 得$$x_1+2=2(x_2+2).$$接下来，如何处理 $M,A,B$ 三点共线变成了问题的关键．
利用中点公式处理共线 不难推知 $B$ 平分线段 $AM$，于是 $y_1=2y_2$，可得$$x_1=4x_2.$$综合两式，可解得 $x_2=1$，进而 $y_2=2\sqrt 2$，因此不难求得 $k=\dfrac{2\sqrt 2}3$．
利用直线与抛物线联立 联立直线与抛物线，得$$k^2(x+2)^2=8x,$$整理为$$k^2(x+2)^2-8(x+2)+16=0.$$由于 $\dfrac{x_1+2}{x_2+2}=2$，因此$$8^2-\left(2+\dfrac 12+2\right)\cdot k^2\cdot 16=0,$$解得 $k=\dfrac{2\sqrt 2}3$．
题目
答案
解析
备注
