点 $P$ 到点 $A\left(\dfrac 12,0\right),B(a,2)$ 及到直线 $x=-\dfrac 12$ 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么 $a$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ \pm \dfrac{1}{2} $
【解析】
点 $P$ 到 $A$ 与 $P$ 到 $B$ 的距离相等，于是问题可以转化为线段 $AB$ 的垂直平分线 $l$ 与抛物线只有一个公共点，这包含两种情形．
情形一 直线 $l$ 与抛物线的对称轴平行．如左图，此时 $l:y=1$，于是 $a=\dfrac 12$．
情形二 直线 $l$ 与抛物线相切．如右图，过 $P$ 作射线 $PM\parallel x$ 轴．根据抛物线的几何性质，$\angle 1=\angle 3$，因此 $\angle 1=\angle 2=\angle 3$，于是 $PB\parallel x$ 轴．因此 $P$ 点坐标为 $(2,2)$，进而$$PB=PA=2+\dfrac 12,$$解得 $a=-\dfrac 12$．
综合以上两种情形，$a=\pm \dfrac{1}{2}$．
综合以上两种情形，$a=\pm \dfrac{1}{2}$．
题目
答案
解析
备注
