如图，已知抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$，过点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A,B$ 两点，且 $|AB|=3p$．设点 $A,B$ 在 $l$ 上的射影分别为 $A^\prime,B^\prime$，今向四边形 $AA^\prime B^\prime B$ 内任投一点 $M$，点 $M$ 落在 $\triangle FA^\prime B^\prime$ 内的概率是 $\frac{p}{q}$，其中 $p,q$ 是互质的正整数，则 $p+q=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛陕西省预赛（第一试）
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
这是一个几何概型，所求概率 $P=\dfrac{S_{\triangle FA^\prime B^\prime }}{S_{\text{梯形}AA^\prime B^\prime B}}$．由抛物线的定义，得 $|AA^\prime|+|BB^\prime|=|AF|+|BF|=|AB|=3p$．所以 $S_{\text{梯形}AA^\prime B^\prime B}=\dfrac{1}{2}(|AA^\prime|+|BB^\prime|)\cdot|A^\prime B^\prime|=\dfrac{3p}{2}|A^\prime B^\prime|$．又 $S_{\text{梯形}AA^\prime B^\prime B}=\dfrac{p}{2}|A^\prime B^\prime|$，故 $P=\dfrac{\dfrac{p}{2}|A^\prime B^\prime|}{\dfrac{3p}{2}|A^\prime B^\prime|}=\dfrac{1}{3}$．
题目
答案
解析
备注
