在平面直角坐标系 $xOy$ 中，以点 $\left(1,0\right)$ 为圆心且与直线 $mx-y-2m-1=0$（$m\in{\mathbb{R}}$）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．
【难度】
【出处】
2015年高考江苏卷
【标注】
【答案】
$\left(x-1\right)^2+y^2=2$
【解析】
可先用 $m$ 表示点 $\left(1,0\right)$ 到直线 $mx-y-2m-1=0$ 的距离，即半径，然后求半径的最大值即可．由题意，圆心 $\left(1,0\right)$ 到直线 $mx-y-2m-1=0$ 的距离即为半径，由点到直线距离公式求得半径为 $ r=\dfrac{|m+1|}{\sqrt{m^2+1}} $，所以\[r^2=\dfrac{m^2+2m+1}{m^2+1}=1+\dfrac {2m}{m^2+1},\]当 $m\leqslant 0$ 时，$r^2\leqslant 1$；
当 $m>0$ 时，$r^2=1+\dfrac 2{m+\dfrac 1m}\leqslant 1+\dfrac 22=2$，当且仅当 $m=\dfrac 1m$，即 $m=1$ 时等号成立．所以 $r^2$ 的最大值为 $2$，所以半径最大的圆的标准方程为 $\left(x-1\right)^2+y^2=2$．
当 $m>0$ 时，$r^2=1+\dfrac 2{m+\dfrac 1m}\leqslant 1+\dfrac 22=2$，当且仅当 $m=\dfrac 1m$，即 $m=1$ 时等号成立．所以 $r^2$ 的最大值为 $2$，所以半径最大的圆的标准方程为 $\left(x-1\right)^2+y^2=2$．
题目
答案
解析
备注
