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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15603 5912b682e020e70007fbee64 高中 解答题 自招竞赛 $y=x^2$ 上一点 $P$（非原点），在 $P$ 处引切线交 $x,y$ 轴于 $Q,R$，求 $\dfrac{|PQ|}{|PR|}$． 2022-04-17 19:11:15
15600 5912b9d9e020e7000a798c81 高中 解答题 自招竞赛 椭圆 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + {y^2} = 1 (a > 1)$，一顶点 $A\left( {0 , 1} \right)$，是否存在这样的以 $A$ 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，若存在，求出共有几个，若不存在，请说明理由． 2022-04-17 19:09:15
15597 5912bb1ae020e7000878fa13 高中 解答题 自招竞赛 现有如下两个命题：
命题 $p$：函数 $f\left(x \right) = {x^3} + a{x^2} + ax - a $ 既有极大值，又有极小值．
命题 $ q $：直线 $ 3x + 4y - 2 = 0 $ 与曲线 $ {x^2} - 2ax + {y^2} + {a^2} - 1 = 0 $ 有公共点．
若命题“$ p $ 或 $ q $”为真，且命题“$ p $ 且 $ q $”为假，试求 $ a$ 的取值范围．		 2022-04-17 19:08:15
15574 59549accd3b4f90007b6fb60 高中 解答题 高中习题 已知直线 $l:x=t$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）相交于 $A,B$ 两点，$M$ 是椭圆 $C$ 上一点，设直线 $MA,MB$ 分别与 $x$ 轴交于 $E,F$ 两点，$O$ 为坐标原点，求证：$|OE|\cdot |OF|$ 为定值． 2022-04-17 19:53:14
15573 59562676d3b4f900095c65f0 高中 解答题 自招竞赛 设双曲线的两个焦点为 $F_1,F_2$，点 $P$ 为双曲线上任意一点．求证：此双曲线在点 $P$ 处的切线平分 $\angle F_1PF_2$． 2022-04-17 19:53:14
15556 59607fa23cafba000ac43ca6 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\left| PM \right|-\left| PN \right|=2\sqrt{2}$，$M\left( -2,0 \right)$，$N\left( 2,0 \right)$． 2022-04-17 19:44:14
15554 5962e9a63cafba0009670c9b 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知 $A,B$ 是圆 $x^2+y^2=4$ 与 $x$ 轴的两个交点，$P$ 为直线 $l:x=4$ 上的动点．$PA,PB$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 的另一个交点分别为 $M,N$．求证：直线 $MN$ 过定点． 2022-04-17 19:44:14
15514 596491fe22a5da0007aed4a5 高中 解答题 自招竞赛 在一有直角坐标系的纸片中，画出以点 $A(-1,0)$ 为圆心，半径为 $2\sqrt 2$ 的圆，定点 $B(1,0)$．折叠纸片使圆周上某一点 $P$ 恰好与点 $B$ 重合，连结 $AP$ 与折痕交于点 $C$．反复这样折叠得到动点 $C$ 的集合． 2022-04-17 19:19:14
15451 59706671dbbeff0009d29eee 高中 解答题 自招竞赛 过椭圆 $C$：$\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 上任一点 $P$，作椭圆 $C$ 右准线的垂线 $PH$（$H$ 为垂足），延长 $PH$ 到点 $Q$，使 $|HQ|=\lambda|PH|$ $\left(\dfrac 23 \leqslant \lambda \leqslant 1\right)$．当点 $P$ 在椭圆 $C$ 上运动时，点 $Q$ 的轨迹的离心率取值范围为 $\left[\dfrac{\sqrt 3}{3},1\right)$，求点 $Q$ 的轨迹方程． 2022-04-17 19:47:13
15384 59882b8a5ed01a000ba75c35 高中 解答题 自招竞赛 （12分）已知 $F_{1}(-1,0)$、$F_{2}(1,0)$，圆 $F_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=1$，一动圆在 $y$ 轴右侧与 $y$ 轴相切，同时与圆 $F_{2}$ 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线 $C$，曲线 $E$ 是以 $F_{1}$、$F_{2}$ 为焦点的椭圆． 2022-04-17 19:10:13
15383 59890d825ed01a000ad799c1 高中 解答题 自招竞赛 设 $k$ 为实数，$0<k<6$．椭圆 $E_{1}:\dfrac{(x-k)^{2}}{9}+y^{2}=1$ 与椭圆 $E_{2}:\dfrac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$ 交于点 $A$ 和 $C$，$E_{1}$ 的左顶点为 $B$，$E_{2}$ 的右顶点为 $D$（如图）．若四边形 $ABCD$ 是正方形，求实数 $k$． 2022-04-17 19:09:13
15322 59b7323cb049650007283188 高中 解答题 自招竞赛 设复数 $z_1,z_2$ 满足 ${\rm Re}(z_1)>0,{\rm Re}(z_2)>0$，且 ${\rm Re}(z_1^2)={\rm Re}(z_2^2)=2$，其中 ${\rm Re}(z)$ 表示复数 $z$ 的实部． 2022-04-17 19:37:12
15296 5a012dd503bdb100096fbe9e 高中 解答题 自招竞赛 从点 $A(\sqrt 2,2)$ 向 $\odot D:x^2+(y-2)^2=1$ 作两条切线 $AB,AC$，其中 $B,C$ 是两条切线与抛物线 $y=x^2$ 的交点，请判定直线 $BC$ 与 $\odot D$ 的位置关系． 2022-04-17 19:23:12
15285 5a4b48a234d6f9000837b8dc 高中 解答题 自招竞赛 设 $x_1,x_2,\cdots,x_{100}\in [-1,1]$，求证：存在 $i\ne j$ 使得 $|x_ix_{j+1}-x_jx_{i+1}|<\dfrac{1}{12}$． 2022-04-17 19:18:12
15233 5c6f9654210b280151d74a71 高中 解答题 自招竞赛 有一个内接于椭圆 ${{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=4$ 的等边三角形，它的一个顶点坐标是 $\left\{ 0, 1 \right\}$，一条高在 $y$ 轴上，且边长为 $\sqrt{\frac{m}{n}}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 19:51:11
15222 5c74d646210b28428f14cbcd 高中 解答题 自招竞赛 一个圆锥的底面半径为 $600$，高为 $200\sqrt{7}$ 。—只苍蝇从在此圆锥侧面上与顶点的距离为 $125$ 的一点开始，沿着此圆锥的表面爬到此圆锥正对面的某一点，此点与顶点的距离为 $375\sqrt{2}$ 。试求这只苍蝇所可能爬行的最短距离。 2022-04-17 19:45:11
15147 5cb43a5b210b280220ed1daa 高中 解答题 自招竞赛 如图，$F_{1}$、$F_{2}$ 是双曲线 $x^{2}-\dfrac{y^{2}}{4}=1$ 的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于 $A$、$B$，又设 $O$ 为坐标原点．求证： 2022-04-17 19:01:11
15139 5cb852f4210b28021fc7587a 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设点 $M(x_{0},y_{0})$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 上一点，左右焦点分别是 $F_{1},F_{2}$，从原点 $O$ 向圆 $M$：$(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2=r^2(0<r<1)$ 作两条切线分别与椭圆 $C$ 交于点 $P,Q$，直线 $OP,OQ$ 的斜率分别记为 $k_{1},k_{2}$． 2022-04-17 19:57:10
15138 5cbd2555210b28021fc75965 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知抛物线 $y=ax^2$ 过点 $P(-1,1)$，过点 $Q(-
\dfrac{1}{2},0)$ 作斜率大于 $0$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $M,N$ 两点（点 $M$ 在 $Q,N$ 之间）．过点 $M$ 作 $x$ 轴的平行线，交 $OP$ 于 $A$，交 $ON$ 于 $B$．$\triangle PMA$ 与 $\triangle OAB$ 的面积分别记为 $S_1,S_2$，比较 $S_1$ 与 $3S_2$ 的大小，说明理由．		 2022-04-17 19:56:10
15134 5cbfc641210b28021fc75a85 高中 解答题 自招竞赛 已知 $F_1,F_2$ 分别为椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左，右焦点，点 $P(\dfrac{2\sqrt{6}}{3},1)$ 在椭圆 $C$ 上，且 $\triangle F_1PF_2$ 的垂心为 $H(\dfrac{2\sqrt{6}}{3},-\dfrac{5}{3})$． 2022-04-17 19:54:10
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